← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (-192463393763000375288389945540a^{2} - 485958244043492485022621917196a + 449189444034614781240273808436 )x^{46} + (36436846838037972489503115416a^{2} + 552090810522632722853600307408a + 267091495707430680760621390936 )x^{45} + (413911057980180929937777853488a^{2} + 193731482703897954414626677376a - 471098688982988391977617850640 )x^{44} + (185942663717464439969137178976a^{2} + 584217844884073859168791431704a - 256950503114959821229632926760 )x^{43} + (-428202426483119951650829656676a^{2} - 593052040201686745342421774172a + 58003920716934413205496145364 )x^{42} + (-272948871163295348172107631280a^{2} + 573765060130042109496266052984a - 452707434307704695649401197688 )x^{41} + (405768447313218527041710153392a^{2} - 359770061588579639162875663812a + 59651608657912548872734313248 )x^{40} + (-141515652461797405261310930544a^{2} + 390370247385155775565486888304a + 375360704682845003848462168976 )x^{39} + (-214745264294088507415035666516a^{2} - 118005444097716389197954336624a - 623243162153610597764205056564 )x^{38} + (1196723049146477429026296904a^{2} + 257227492590450017067235385768a - 261245651705176115713667571192 )x^{37} + (47379268606470804556388361708a^{2} - 202331754827802637689381488772a - 77304631759227744285894508760 )x^{36} + (-549404177808733769667459205456a^{2} - 438503953998298463065736215248a - 327832672458366970332407044992 )x^{35} + (226514098506311253400451920696a^{2} + 345080392753284289454581332964a - 527114296713027182418680809224 )x^{34} + (341172176415940508360236948560a^{2} - 253171372313119201082631249160a + 344235963912332476426996017080 )x^{33} + (149464995273222339576170825046a^{2} + 481326767346777018024623606354a + 271823693111390594642360571216 )x^{32} + (-60647457643246101850923994128a^{2} - 557324690893505691625131748880a - 70105211396778976957401710816 )x^{31} + (283122190774429451763076361496a^{2} - 209054246664519128042165711088a - 327981917631783192224044974792 )x^{30} + (629902953054969203253462574280a^{2} - 371898302026645736082250088168a + 146106651085832810597217518512 )x^{29} + (180478909534623195828356860332a^{2} + 373603983803992419938057697920a + 213437548078640070172451158748 )x^{28} + (-591033393110320495974203154608a^{2} + 215267194528394226934907607104a - 375075922790044758488576247152 )x^{27} + (-86000788844061153131101267360a^{2} + 65449259504751077691947765408a - 385224052371035152996763939944 )x^{26} + (-527716447125399601363679858248a^{2} - 62503559752537419826623860928a - 230730258248743344834252600360 )x^{25} + (292842836695128605081253045080a^{2} - 119961752082207255728526398420a + 602542672358448027466880989352 )x^{24} + (428661016362370982343403529600a^{2} - 614996015060525419335098461600a - 572963947332345333017646739104 )x^{23} + (-486820055476270626134790980872a^{2} - 397688009560480527831911103648a - 486140437461836325738002474728 )x^{22} + (-404664422683514192377918290848a^{2} + 447310221403514683665675028560a - 59588181766732277353881747600 )x^{21} + (193216058947669601534208777560a^{2} + 355111343376423523124372157568a - 381359564490834331163215683520 )x^{20} + (319831996883794283015176516944a^{2} - 194471762764145501879355109520a + 168451342594641528337580018336 )x^{19} + (603739939751236807445162194904a^{2} + 399226830499972564943022539784a + 425157507910600548958075860296 )x^{18} + (237203599263066920563368627760a^{2} + 61808668644060530767207163984a - 364300678667890991107208203680 )x^{17} + (499906584854048515957186721904a^{2} - 491039580878773126753730048384a - 452054022575990209941082201844 )x^{16} + (-342352892608347947945708592128a^{2} - 100808321322042762798279812000a + 116767165699945068431274343776 )x^{15} + (-589992224250574350464628521408a^{2} + 323842630186397472368768153808a - 265207148045361142045768256848 )x^{14} + (182204037748430036303168613840a^{2} - 94857159414726992947555650912a - 268939106203181420082580892496 )x^{13} + (337143341404898327771706241376a^{2} + 481351502335353588382705020456a - 138844548042591675329163506256 )x^{12} + (-542917165588666596752531371872a^{2} + 60058245645772627334798862144a - 527840015287316847813096535616 )x^{11} + (1284638502137891817929701160a^{2} + 12014490603246149651496673776a - 129552692040320341902033574256 )x^{10} + (-203392214014646478817165921600a^{2} - 445573448106742155020426212080a + 349402219168265630082168943120 )x^{9} + (-478999122847781840747337705516a^{2} - 407510685913761073832785500988a + 399404994656538446962904390428 )x^{8} + (-136621942681510762394391833568a^{2} + 433308142662979850102082347680a + 398280128084166162077883042272 )x^{7} + (-91274963623462848566534671440a^{2} - 522631178668380391655441769264a - 488337394973310073110543472448 )x^{6} + (79312097648346784283639503840a^{2} + 576245558425240818358775482368a + 521635857075103617098989677888 )x^{5} + (538591397631689166900775975376a^{2} - 142899635802392300397432764352a - 36914096513093846282006723320 )x^{4} + (2705039393019451783029579936a^{2} - 145204343414555059519722779424a + 332601216672262727041181128032 )x^{3} + (116349756514193406048532945312a^{2} - 80815317272308159536246918224a - 365320744753553304409698424416 )x^{2} + (313336051395911527957979468704a^{2} + 18450777029516661556112527328a + 258010271104061154524287326800 )x - 298503590656418336491385164892a^{2} + 268153827890581783107196462112a - 190583488286119721953237959200 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary