← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (515969419462752152095747389836a^{2} - 109021499927102044129159578020a - 200069617775856006451611966372 )x^{46} + (-108805268094854321168166223288a^{2} - 395218704985744145663330419264a - 623297712279507678803791654680 )x^{45} + (-557532122268924857292718391856a^{2} - 313452665685216595026007467768a - 286116151419265531886049614784 )x^{44} + (591044661800831059895403998592a^{2} - 362649921888896503747476711416a + 52643614163411946807813694632 )x^{43} + (-158059719130836881576357250308a^{2} + 45305133954621768045512949564a + 58463697604579739859926780796 )x^{42} + (200135038563203796054592037392a^{2} + 58681935527432719927739400752a + 284913870637703976759511532184 )x^{41} + (-30284214620014907387128763872a^{2} + 186123779005116386465202674916a - 178961037813094414098660273408 )x^{40} + (215164435174947874417515968560a^{2} - 412536705285789968603079876432a + 261702772954174255245338703408 )x^{39} + (383613337588003110267794879148a^{2} + 262245428115678999388089345632a + 304971678784457531023619568252 )x^{38} + (-220103040639549051134240289448a^{2} - 141937720466532684418185395608a + 294574756869592436926022895496 )x^{37} + (372287438762511153674939429580a^{2} - 534887578446489334408089336244a - 552294347734006809556022013088 )x^{36} + (404845079114776223347490624656a^{2} + 45952760878304250332405870512a + 471717866594364046716841327072 )x^{35} + (-164728990679310635381285247528a^{2} - 339444921643850840127769310188a - 345025533586212346604462240104 )x^{34} + (382101657885109397051556672048a^{2} - 485280716535622204593705664376a + 562783759150776889436553422808 )x^{33} + (-583023253157784110994567435670a^{2} - 471063002901942515149449739790a - 382992156540834249692565617828 )x^{32} + (-544761753545272275692161672784a^{2} + 34550731205532826157309176816a + 85050850900720844812392092832 )x^{31} + (-263235397401919130475177077176a^{2} - 100299491609548224220109369232a - 44019266335514202596154363672 )x^{30} + (157251217905676325160610361736a^{2} + 296719095263630283358556249464a - 373643678892295702983107231472 )x^{29} + (-595223527493866504008958872332a^{2} - 62368783640775789119923784368a + 598769944180376728639427554644 )x^{28} + (-364887612165391124253391750128a^{2} - 34214838140249957750626907936a + 239214492904597123609717537072 )x^{27} + (539984141562807660334169680320a^{2} - 613745401124382580988692679184a + 548315602588733866143285478344 )x^{26} + (262513380236536387812247267848a^{2} + 46094802998823781928118916544a - 496464080365000518933917698600 )x^{25} + (499588381715997504689982945856a^{2} - 544035736488672543712934199612a + 123542355057547608270639392400 )x^{24} + (249273376514377691619229547040a^{2} + 466039381976813473088398288960a - 483141320755396516703739258848 )x^{23} + (-276363804890836449937624662888a^{2} + 57555423025826098551936970976a + 99311005130750768873816545608 )x^{22} + (569637520876455456430462341984a^{2} + 532487911670935143374960864272a + 473742905699426043628268902288 )x^{21} + (-74139246753269819534329110360a^{2} - 373763819105221459260703963664a - 555610421076553985943738645520 )x^{20} + (470515848963064666597419695440a^{2} - 375764456149710117275575121328a + 595101878824243751695895487680 )x^{19} + (624666209258135887925367948024a^{2} + 364970323396001792325927097544a - 215142457638655020608753551640 )x^{18} + (-411945241393808511958966908656a^{2} - 331365792532736927649346397136a + 352222606854439628044063499744 )x^{17} + (-117733762181974830174809059056a^{2} + 572093047781864284346651877296a - 294574588421504509782246080244 )x^{16} + (231840890989609831964845134976a^{2} + 283252437770538675586733070432a + 95458531431406041029273723488 )x^{15} + (-258716365542404301019528596704a^{2} - 96489732411969597112384138160a + 464788437518151563030902389040 )x^{14} + (493791775466668917211779647216a^{2} - 472941948805891666501719108928a + 249749723618812191784990489488 )x^{13} + (461582472536943769545690374976a^{2} - 303908843659160163296866753640a + 499029864373228573456921720016 )x^{12} + (339713934694137144246201246368a^{2} - 273654534925971479774307910464a - 308738317603044981212599950784 )x^{11} + (-266372100685840345539698593480a^{2} - 42577966634702084952866030784a + 282848302491123198264063046160 )x^{10} + (-187878990390372063953013498272a^{2} - 274940831910636860404019302320a - 104694410958220796659011807408 )x^{9} + (146415984318884120380080042356a^{2} + 139592606892131555294225414004a - 131909433427672426558313478980 )x^{8} + (82899411125948152313643347360a^{2} + 177860391840541481210277324256a - 357889371096454817260382955872 )x^{7} + (-419589269872847974684004046736a^{2} - 620020602652525609382638923216a + 408208035333607130791080625984 )x^{6} + (56492388995396876694813797536a^{2} - 358031960966182123969120603904a - 470519727909447078648275402400 )x^{5} + (-399015711752019307953282725856a^{2} + 470914912177999350282704889856a - 145915271026090961880571998792 )x^{4} + (289782649742639293108395533984a^{2} + 482749048234147572545252761184a + 249303349284547510433294533984 )x^{3} + (-132742812384265886886278532720a^{2} - 362228915109711404590727745088a + 200354829455767911840751951504 )x^{2} + (-586343499546545889072360938752a^{2} - 167585800133401411097229064128a + 314001324793312088920486072240 )x + 14897040074458528948001966404a^{2} - 28441578367115870848899119296a + 435717875433589894927983203360 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary