← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (564576635312465374164679641092a^{2} + 138411567623666022419368045988a + 146850505167818915953015472572 )x^{46} + (406967333743878008606546362552a^{2} + 40551519626327082174426824288a - 378688690605388840563329316200 )x^{45} + (40345492238726525795073316584a^{2} - 141054551948936626862980807312a + 200134743509211709848686347088 )x^{44} + (189486786407806335790187230272a^{2} - 563526124785692018867714448888a - 257839143580011235675988951784 )x^{43} + (69287758819539414747008197396a^{2} + 491777277476143658590402021724a + 436028826559529445153755776700 )x^{42} + (166954394669559854646971020224a^{2} - 268074796188801403575345941992a - 514107369511082066847981883600 )x^{41} + (-303761444880877697884438258912a^{2} - 29106852705896236110161915244a + 539545966621319143791531271300 )x^{40} + (381081428596995049212117479152a^{2} + 123286666651760266416361938288a - 356155478592290024992748564976 )x^{39} + (-59446118474084532963235076436a^{2} + 287614493814198948567917118608a + 368454974138504152557670291964 )x^{38} + (-178089109179402015598155160680a^{2} + 328040783746828265533598581320a + 460419154983858203664656832264 )x^{37} + (-60701588084111468922383780284a^{2} - 583097377894485389581137498260a - 323615494164429004763061441808 )x^{36} + (-146166051833404558806291501136a^{2} + 588325746754120525788478689904a - 4029755220458273040933652000 )x^{35} + (589599028700011086386297299072a^{2} - 94716722793805879545261107348a + 612007601694011164615931006808 )x^{34} + (85609261451392529220834057904a^{2} + 506127016694346232312102080040a + 546508459545216639920043211848 )x^{33} + (366622417173051914875873913042a^{2} - 456722833889304506235560235266a - 573736495765753624912259736576 )x^{32} + (516767608410049996127881721328a^{2} - 55769427776795283768216224368a + 339753092689140913929492157792 )x^{31} + (-429371308463847192339929036280a^{2} + 423238807867808596196225817904a + 65887527908442059165695918904 )x^{30} + (105375668187649676337047825000a^{2} + 391189258107510956501730655800a + 72911905690123226305084384656 )x^{29} + (14313724490425470979329480188a^{2} - 614368203623819895231382079888a + 613570919272415598428868833980 )x^{28} + (137186129953094764332719705040a^{2} + 26570961058444213996970268608a - 21702767977194519973187455152 )x^{27} + (-601788467442458630308520227936a^{2} - 52678290604395416517464483984a + 608734626822863957944235643592 )x^{26} + (-308926709068309771756879682216a^{2} - 296453515233511936957994161968a - 444724747741548334174702256584 )x^{25} + (-108631889467500569587054374488a^{2} + 619045514507421808974254914220a + 368055692731515239822565605168 )x^{24} + (-330761271739740753728963029600a^{2} - 137141571925085967412034021920a + 622846085937024334169199864992 )x^{23} + (-456459459564180286368266749576a^{2} - 355745647262137266625550279024a - 114693830505377727976672269496 )x^{22} + (339950953067192998382111562656a^{2} - 413867901990726926468693629136a + 435420325412398341501905298992 )x^{21} + (309659980066952180024972183728a^{2} + 579676872256652788063757050064a - 101067247712942975995367789576 )x^{20} + (626924520052369345361120472720a^{2} - 341206585537271175933337292592a - 401665929424678760962405382944 )x^{19} + (400344972446205710155626158040a^{2} + 19246930534343196738068404152a + 531621574464533559442212476840 )x^{18} + (-267850165621750474869454575312a^{2} - 555716697838731214714253547120a + 316825467308174953940780768960 )x^{17} + (142834654263643422169928473936a^{2} + 261098253229914560803737038408a + 307055404900734052385525983628 )x^{16} + (-149776254510925178638694984448a^{2} - 115686323608627735427905994848a - 145417279417120068872811502304 )x^{15} + (145247588820033800380023834976a^{2} + 572430753511270328915194087120a + 191662335469306784227543728048 )x^{14} + (-607066574473197283678390823632a^{2} + 496097681261529042560389665184a - 383896245519145448741115311664 )x^{13} + (292851700966126209293681306208a^{2} + 423205262464136323476125382440a - 185584166019977597504245899104 )x^{12} + (-293277215377234526470901954368a^{2} + 546590559635124619102017662176a + 490982303688379930776131450048 )x^{11} + (119353550691211116092671344616a^{2} + 443008695781357421308433032896a - 518484355446437759164775757376 )x^{10} + (440522761053397592667546970432a^{2} - 248633085324201132119372444368a + 439292272197665292777852478512 )x^{9} + (43453452866424588853957656484a^{2} - 369359573548937585887847522572a + 137493108355471113610997260780 )x^{8} + (-352026769100745703194930089760a^{2} - 66652210981978402909904554400a - 368230932676854960019698215136 )x^{7} + (76014682413545487001155959792a^{2} + 609075453004353932412435640496a + 623300987242485502311635545152 )x^{6} + (-322599811310727150487598194304a^{2} - 506668586269522493079376993056a + 293122431524626633513722430112 )x^{5} + (-270138522541605611077642692912a^{2} - 346035310761853314760581638176a - 402079610839364138427298150856 )x^{4} + (-457485259901604162398036810464a^{2} + 204034078627404675724849725216a + 130265279154011386136060119136 )x^{3} + (-336787582708385098896747092976a^{2} + 168154690882896675040154609664a + 344427035125904197575273182688 )x^{2} + (130665400550548021963847419392a^{2} + 347652018089022686527150736480a + 149069080911776326730648608432 )x + 593402250649701150658464665236a^{2} - 607110526323020189523782631904a - 506008587864042367792572690432 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary