← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (-506544730604608972295638103708a^{2} + 314532037450576434015589983852a + 526318135548109439108102532212 )x^{46} + (66701596877510075871197934248a^{2} + 457045674800590923475503942256a - 203914842923470921275750270296 )x^{45} + (-475724499975025906765554236456a^{2} + 521786647451031358473326816008a - 476710411973383168452161633984 )x^{44} + (609320925585833948145076172160a^{2} - 92804608524634236384407541576a - 376644302788886976056341697912 )x^{43} + (-88375153072439944531824886604a^{2} + 32159022726604750218553318644a + 570967925729818511070041888212 )x^{42} + (-174472226750190737388980124048a^{2} - 83892889845821904267553584096a - 60355518506484444896227000384 )x^{41} + (-524354828476184417413974373152a^{2} + 617910609101379397306416429628a - 220539154608786299910793299860 )x^{40} + (590600201470307438825902939408a^{2} - 197562483654663244822563318352a - 506786719823853436594427784528 )x^{39} + (-99019238631436775875466457300a^{2} - 617528662796144627007823901728a - 200525090487901465365307719412 )x^{38} + (-211753372214380198410892487128a^{2} - 426607755963806647932155990680a - 478912423533959856504667194456 )x^{37} + (600612604782692556108275208884a^{2} + 209902835589257680193675325996a + 414478264548570032773288264600 )x^{36} + (61792363376557275632380588912a^{2} + 575158233141140162028384472336a + 160624203312067870775904894432 )x^{35} + (-111047917262615668455018865472a^{2} - 583951017217300404539542096532a + 48047824002153695562094824200 )x^{34} + (-515127570228486133985499203216a^{2} - 26952664191263522689730093608a + 512700030024634003243227931880 )x^{33} + (-240416741375605780674292058898a^{2} - 420874183878325289226232242114a + 204564968242837102544216550908 )x^{32} + (-539331915535406384841647303248a^{2} - 588635428959978610438808852464a - 604146998714494739723113254560 )x^{31} + (-167298521802464671555035941032a^{2} + 59779411464022918173515839088a + 279703163922044016622009780424 )x^{30} + (-419148235488644180191035162712a^{2} + 88768914408577049894271332120a + 322853702506463637377247014640 )x^{29} + (-482381523492790359206182504556a^{2} - 332099858291790012166028949280a - 198442267087764436501575778028 )x^{28} + (-385481648752437759084513834224a^{2} - 537214391220261629404402773728a + 281872143164494513223861187568 )x^{27} + (356364557017461845953044635808a^{2} - 8159320486129640973409471520a - 243653964140024470039908322440 )x^{26} + (543975717686539038501083314952a^{2} - 561463730956442318634918751760a - 466648376786232157929894047176 )x^{25} + (166474021738583590223960487008a^{2} - 132644801979521396987951458380a - 265694175252866439649454764968 )x^{24} + (-105981120763563747590869168320a^{2} - 108612689610169089760756984256a - 594767026372002733910392085088 )x^{23} + (230118606020361444284645880344a^{2} + 170893741300789042928129310000a - 600836577640763465027423372168 )x^{22} + (565086758426057484869164922720a^{2} + 470168677173883411626445873712a + 623673879009261234129294993872 )x^{21} + (181863390379791988847374710880a^{2} - 9637744898483188583639318848a - 205575434756838958503502147032 )x^{20} + (-406507917976676668067306934448a^{2} - 310076886521635711333730484816a + 447265554796111279807262725184 )x^{19} + (-176913727861077446558669086472a^{2} + 329408444007671190142874571032a + 457877971517191177041696907784 )x^{18} + (510722816151829015067170697520a^{2} + 125508290903316673459947286736a - 610759873554629056846675244896 )x^{17} + (-576785217155654740633630213456a^{2} - 335563541508284784313481924648a + 230918050322920977663745136380 )x^{16} + (-295591153022106167501213052672a^{2} - 256293097180456298318611938016a - 171880018675667958537843148896 )x^{15} + (-124755039184034383394438878144a^{2} - 268259648686943479079477726832a - 306414078552170500253770007056 )x^{14} + (-23593300960415781121984189872a^{2} - 35933206298523817678720750720a - 431894432984561435395245888656 )x^{13} + (-511441337824077704202660308960a^{2} + 83886569497557410840260011032a + 416628204468309757575881663136 )x^{12} + (486492871051898097759466888256a^{2} - 378716289694229700943262225952a - 376790810254381441036535295296 )x^{11} + (418811355289600094006943031704a^{2} + 396368787570649813681324208080a + 476269901769836204399057964800 )x^{10} + (-314702908896061842740687498784a^{2} - 612922868142799286581955962704a + 80288219849324751590260118960 )x^{9} + (-96749655344111437573064600028a^{2} + 152758400575165428744059437444a + 580323910149102865854287893740 )x^{8} + (-313729549416090291202805079584a^{2} + 514199114074975878619577550624a - 238157876161818819816725357344 )x^{7} + (-32718908740574296665197132944a^{2} + 11942634640839783526226324304a - 508782030459146276841424069888 )x^{6} + (627135380036606504319415634176a^{2} + 434921358657933671705830317152a - 391245565813419921717532036736 )x^{5} + (-426176481633805562811191372160a^{2} + 589627699966315954207733211680a + 285096896465333549256947052616 )x^{4} + (514584860468289933185006362400a^{2} - 159351576366199294796846976736a - 160371228332102791309622516384 )x^{3} + (-150279231698108629218135828096a^{2} - 173631549458237640079527170832a + 368888360778439014349038113488 )x^{2} + (288387779669638585232907656928a^{2} - 327555123927873084561449515456a + 483018328126997085588104702736 )x + 562396849690280217684184553204a^{2} + 250984790600746972994249645120a + 631812622650129575304237999360 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary