← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (-148461029196852140266268640348a^{2} + 212877071725071477290201907188a + 75873397372120352667824484928 )x^{46} + (315792314545877336701704471160a^{2} + 369878057572629506948963597592a - 177621317657228270709568401264 )x^{45} + (254556667822275753099907816352a^{2} - 340717758985829385181117479788a - 63010519416424457315865738512 )x^{44} + (41801202874353181018660832976a^{2} + 191712187830814723855989577152a + 134315171223637845042699227088 )x^{43} + (136052335885063602894874665648a^{2} + 107062865688301438395602839716a + 51412126614717815577708434152 )x^{42} + (256397119945319311281616024728a^{2} - 50702137757747262367241894304a - 205370722397924903260012153984 )x^{41} + (215539373735930230606109686476a^{2} - 524141580794117855081398088060a + 104494596410478750409717580560 )x^{40} + (433685145461879323366218781552a^{2} + 350620267951997107083799635536a + 474010384503958234831333395040 )x^{39} + (334814420961359579003303615928a^{2} + 255727146793019169357256643376a + 340994911558219906154396775104 )x^{38} + (19226357011103029344597810152a^{2} + 562019211040423760424499354304a + 435647868579164425207852743376 )x^{37} + (-65981774295651211641415554656a^{2} - 114326071778819810660403377196a + 535993457871492953607020684728 )x^{36} + (-361479206741573115224964922096a^{2} + 6730310368477971780931175312a - 217086461658831626833039563040 )x^{35} + (-185905422252352875600113970576a^{2} + 26548488617729045049163240276a - 226565176076779731432622554976 )x^{34} + (521296375646757911508921652120a^{2} + 449958070726013671386800788336a - 335231000361546472491515373312 )x^{33} + (-161732863280399096923050305628a^{2} + 470069250843347636609838032970a + 467912766748408434124638765992 )x^{32} + (375935671242624858028955191984a^{2} - 520451842534139937727318589184a + 491413284627592973018546153744 )x^{31} + (415371767990166431433458883008a^{2} + 504494242051007785158544316576a + 543752162821871137162662048096 )x^{30} + (-546297811601825798839280990064a^{2} + 295186967733973184675817485096a + 163144875809565364204074829632 )x^{29} + (-537129286218567853218550340684a^{2} + 157509821953550145559496620444a - 563178520538523642423801388016 )x^{28} + (335372829166730396917375740896a^{2} - 202082578570980652301736749536a + 596411248946045042072592007184 )x^{27} + (-168309038568255213550913423376a^{2} - 148321320549594622914197445624a - 188509882306282418161712364992 )x^{26} + (127795432416908627804267165600a^{2} - 376033360421960905119723856560a - 460677869816308469139408571632 )x^{25} + (-501782992858649941885331835024a^{2} - 543371344415466006898493778316a + 396478143824804034816699909868 )x^{24} + (-550202884487752496811761028176a^{2} + 317920387312835346671362572560a - 139275370125883444376922771008 )x^{23} + (-494367040264004360303896666568a^{2} - 514237807076543623040577370152a - 310329390341175902594435279824 )x^{22} + (610942542123212864259347702144a^{2} + 435405385953527809087274463536a + 242057258373622632424995543088 )x^{21} + (-433708873045002959081085025856a^{2} + 429621009273183532950391658512a + 537396428324001467317913331280 )x^{20} + (-548326337399345284937872287296a^{2} - 621451279959549724328226343456a - 561376920208171376311294400192 )x^{19} + (-103069216682814712290949424200a^{2} - 282209691570230427830443760704a - 548592519361535313571670762600 )x^{18} + (-25749539252093341911689890576a^{2} + 460484550607272788282836184240a - 107802497609035860525693520048 )x^{17} + (279110931479048326874089892728a^{2} + 374791697568077663866156322620a - 16144871504761250501433766376 )x^{16} + (-2138448254841238548036690720a^{2} - 96209061103275170161882487328a + 499918924272669064484587248768 )x^{15} + (-303187219250917084093286774888a^{2} - 228085775753669931424393575912a + 336994814581117255509191087928 )x^{14} + (26667443159136589166255082112a^{2} - 541837992621302470961120727488a + 587348857767922456258460917584 )x^{13} + (-330273295663071013596979431024a^{2} + 630238708960584639891394346832a - 251955186174509175445398257312 )x^{12} + (-82924459638011013302755213024a^{2} - 464040147104254679114357229312a + 453675361732821037754580640608 )x^{11} + (-86628261751701764321353236368a^{2} + 569626000233742485204663668472a + 157655694050735109636879847600 )x^{10} + (-474218247265829243667841433136a^{2} - 582886329274579040803450002336a - 309764858961930129479862603424 )x^{9} + (-21950294111802255725673979000a^{2} - 21824348055209578416910353492a - 504392131261263360326986102848 )x^{8} + (35239316583628708063383080064a^{2} - 37274151827114466079132027392a - 267266078255886499508448292224 )x^{7} + (472008489493976129187107478624a^{2} - 445795318846172838864536846400a + 382578673578574485480899362160 )x^{6} + (-198698325028932841801897676896a^{2} - 39420940402505584800399247664a + 394774205103226217479856141872 )x^{5} + (249005031404680861495804790008a^{2} + 227625341595231452134888928584a - 295922059776122677359034432368 )x^{4} + (299489075016012352518634894592a^{2} + 110571751168167197073042562368a + 501385544460215728672661939360 )x^{3} + (-537686648552148251502716307952a^{2} - 194588293721689969524308264736a - 22759415690951563254948777408 )x^{2} + (-160892829240035316665992431520a^{2} + 186436945035552144686910782144a - 383873863883033579924166038912 )x - 335775427892431344219348624848a^{2} + 5460367194030838283503526984a + 143594834155193473675579926372 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary