← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (194027117605685169101165765012a^{2} - 361521592472332704440921010780a + 292254319699593032629123026648 )x^{46} + (-393245289947449369716457084184a^{2} - 249596024216207378104442275032a + 551487123117100108528504636960 )x^{45} + (-5348866455350170771664352496a^{2} - 133093837484138503296109914580a - 578241115738407571299951573336 )x^{44} + (428886561978425654592872720400a^{2} - 627474181746501257940990644512a + 540871590809994183765434211472 )x^{43} + (-319710531522911990089504538240a^{2} - 237677672850975693475105855308a + 117627080558171293185462845320 )x^{42} + (4259019515657591106867912800a^{2} - 620190500081056369316415221504a - 241317333326756738226750892064 )x^{41} + (-292491946203162318658967805164a^{2} - 44148112169316126743475505788a - 523614719812436245153383351632 )x^{40} + (-2036585873871976979305756304a^{2} - 392206279380483898263910698320a - 497746808281065693385353645280 )x^{39} + (-302642018682549299878782799000a^{2} - 357795998421847319263490894768a - 106472248754291159685816159640 )x^{38} + (497684163924872571208361550712a^{2} + 261276762045903439185234608000a + 548628650667049847500939928304 )x^{37} + (-564409076511000425246676824584a^{2} - 399087771110062081398383474940a - 204897857421267669707244840360 )x^{36} + (145886178586137737589257641008a^{2} - 396070358382030239895397065040a + 21765796766735819902726948096 )x^{35} + (-431246540041131466268071944312a^{2} + 190187317179323901510895522612a + 312145450188025949132008423344 )x^{34} + (299454682732876320845261300776a^{2} - 423707320211260255099499800336a - 49707642923989880938505836896 )x^{33} + (618869371233023499313441610156a^{2} - 122762219672038009629714812730a - 621385880352466526441560428476 )x^{32} + (-108899439431689960341642114736a^{2} + 514814861364959683863263756160a - 334557728038943603134073228144 )x^{31} + (-436077400557520248129023777456a^{2} - 576626855828020944637051148016a + 491334204767227723352926279504 )x^{30} + (-353740264363194701964372979376a^{2} + 633094053548507408229467876264a - 284384515337351388080644371808 )x^{29} + (-13557945150792944936112984916a^{2} - 168294167685867136049904735756a + 530191865429145617051487554736 )x^{28} + (-188544783988309587864296760288a^{2} - 185678736341461485810237108448a + 75859389204359025533876263376 )x^{27} + (557644022170089117332260682760a^{2} + 356078193654911860668893111480a + 437231031928579528461197010520 )x^{26} + (295864843691767837532319227584a^{2} + 274264072634744540191009748608a - 193274675785598478100595814768 )x^{25} + (249935689236185791249709035032a^{2} + 341764408594019503442471717244a - 197254221042127809367260838796 )x^{24} + (51422343031452598557707819504a^{2} - 577962530094353638841280100432a - 338513402127736134257396522176 )x^{23} + (-358314928434325989078915123880a^{2} - 157757399993461006272373978728a - 22645738419405752642897649520 )x^{22} + (498666397391764597642887526400a^{2} + 177220605781224566965054515248a - 213422246850244178754196697296 )x^{21} + (-251105218669320821759467701152a^{2} + 304288892985720854234355169664a - 467821334432072193601191630400 )x^{20} + (257263466007855000218117954880a^{2} - 166677462588970105076616483392a + 315970299813617879554054790912 )x^{19} + (530498840406404403321698870328a^{2} + 564848800020773179220664417632a - 404119345428035782470460718712 )x^{18} + (504950690153655993932657484992a^{2} + 382934179107383127788543093472a + 224054242976594667097987121136 )x^{17} + (22033904258343068758046258744a^{2} + 204699447264973843225847009324a + 406570107536918736010257494536 )x^{16} + (-61997779555499901851839574688a^{2} + 530635887809858907657460097248a + 552374911042531063311139903040 )x^{15} + (-497300565554136638908412347368a^{2} + 606100502396281793641354906872a - 104070655470327491480188427976 )x^{14} + (-386666360740522934006723106272a^{2} + 139232369653787567830021893600a - 192434368700148656105055101808 )x^{13} + (402396918668288301974382403376a^{2} + 461241244148589200652132739616a - 626873967239602525957902551440 )x^{12} + (536223847075030106217179614624a^{2} + 104616718154624789105211985280a + 11875980527446656871989056992 )x^{11} + (-25656884190042047539144790688a^{2} - 601385659408547712726957055480a + 329358674824546697481200406432 )x^{10} + (86892522541908868685837208592a^{2} + 351709408469122120840568251584a + 410894401094843882561861372032 )x^{9} + (-120080136202193493501451543944a^{2} + 537844575901130422026808656972a + 171222163469344920496402869760 )x^{8} + (-524816553611091348405301941824a^{2} - 308581414637242019460096536384a + 435842553231519388130834919808 )x^{7} + (64250361094907770166835388000a^{2} + 472927069222871167955106917056a + 499801698795416550944764323216 )x^{6} + (-89198479586026930962674568096a^{2} - 364303051589786408670057967952a + 126455143670514151899332287952 )x^{5} + (66196930398467725068853274008a^{2} + 226992303016643450365456421944a + 200472484132862551391613169952 )x^{4} + (160386628292319910824472569920a^{2} + 125889539461501537357510490752a - 475452522023908530669862699296 )x^{3} + (-531071235270340041937961180272a^{2} - 529222510727254429820579143616a - 463026753310604306065564867712 )x^{2} + (-497375381089892813722085812320a^{2} + 468140251769266128459034443680a + 99239182732203344584474163552 )x - 89569426521793141937916897008a^{2} + 156704751110302492945497096184a - 436929246080817460162811507196 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary