← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (-221703624939931776870575713340a^{2} + 289048439935747728456529542236a - 508563279523065162038465835736 )x^{46} + (491781371935386347722397916760a^{2} - 535230294812915654408659555384a - 452450540734505107733776999856 )x^{45} + (-210886969354994308116516441136a^{2} + 450763916442359443726161438084a - 290859006653879215511903907896 )x^{44} + (-76284720514410318842965213968a^{2} - 535936622921781075036223532384a - 410024541123461406386691598752 )x^{43} + (165030335163123803164582828400a^{2} - 53247123097684878668752319188a + 366497149168518113406918171824 )x^{42} + (180456641291033830107273071240a^{2} + 223315297247986889152592286504a - 325087016144323422345960483168 )x^{41} + (203817804576474123784240898448a^{2} + 446423690365303717480569142756a + 81516995637875609746260274832 )x^{40} + (-278642668938414890719781478800a^{2} + 490277431997458531696745784016a - 262900083552186406359215621024 )x^{39} + (315667193434537403580945052624a^{2} - 272587691839458407427443971368a + 24196855510852223968373062344 )x^{38} + (200473217197958068221247449656a^{2} + 630657062861754486573913524608a - 370173632544741553385047925136 )x^{37} + (234540300954536079557273953648a^{2} + 202775996358133221921230395316a + 336850879463430502551170354032 )x^{36} + (418692985334245456216320131680a^{2} - 307415229155774831041492068528a + 348352733949913602875834223584 )x^{35} + (246955281449422539770576489064a^{2} + 97189326228792298232096777892a + 227015688291650752708934937200 )x^{34} + (291278391548560594085319451064a^{2} + 437852700614428304179224324832a + 345745295035909562668754966336 )x^{33} + (-235926164012075600422175574188a^{2} - 490457282790218338690209976970a + 532040945575051356508229684368 )x^{32} + (88158548483040779652455555056a^{2} + 608381604312972574872561941056a + 218654939484491054828552366576 )x^{31} + (-327256736028989857899468008368a^{2} - 551015978446144024843599896240a - 518645558077073996216758511616 )x^{30} + (-337884423950418751030695878832a^{2} + 237102769683019048985592881000a + 355257001157853224908950073760 )x^{29} + (219893192835032618788319185428a^{2} - 472125963645497355532555202468a - 311355470056754215265035972968 )x^{28} + (455678192326525798600855862048a^{2} - 144173565579561407291423595648a - 154114667746579854232781462608 )x^{27} + (-439778127505468753459412010408a^{2} + 97644590820946898408549682896a - 303819469125418935975055165528 )x^{26} + (84137036325001157754092165344a^{2} + 28649916059731915518327230032a + 352914633968694607272873904704 )x^{25} + (77040053599485822512658226616a^{2} + 549892480030373282429905213252a + 92813438466400549952445878348 )x^{24} + (-546977072506387437237621261424a^{2} + 427431381870075882471358442768a - 104299631825151849086566153376 )x^{23} + (133534752918894266838356607112a^{2} + 174538965241836022719563451720a - 615306105327677206931306302208 )x^{22} + (30791881468724957051565910560a^{2} - 25579660648752571831105106096a + 49098921359304118837151376752 )x^{21} + (-180185757540556199983639674952a^{2} - 283872879105488099989985175792a - 140165626135668115905273947640 )x^{20} + (-509131195885028568366201167296a^{2} - 132470463549250936250684385248a + 167553156144131711550163847200 )x^{19} + (-547373686591750006213010451016a^{2} - 542616835365578517261422730080a + 387142383286926717991523576376 )x^{18} + (71855945355388594771703891088a^{2} - 537579031045810581447511785024a - 212366246919672151369319197664 )x^{17} + (69569892541082688762414301472a^{2} - 337097924146232303113449115940a + 325353471147805440657380798840 )x^{16} + (-474020632991686156140075524192a^{2} + 164891037189751335825930259680a + 581648074742647476026348294208 )x^{15} + (-497758393077297435929847678472a^{2} + 47030794713061561961747399192a + 19942499126010207918900805752 )x^{14} + (473404376765296008674940909536a^{2} - 500262710649498133741456599296a + 493994946890132674002222183696 )x^{13} + (-465163873276928056622938600256a^{2} + 94825359883397612882482692064a - 342537978359539136323840708096 )x^{12} + (-512695766324135959132652785600a^{2} - 271587105524900519076689445536a - 583517486356807018551581137568 )x^{11} + (-268346881359439579728645360672a^{2} + 476858969517617826756220345704a + 240425283332301644644138824304 )x^{10} + (-120129630074933216101032190640a^{2} - 556481267970059607171906012288a - 586874986529384065414438809216 )x^{9} + (-215256370898982476959741845352a^{2} - 129134523245911047706365948132a + 177137448964917248422234347104 )x^{8} + (-364463981995943043068669155776a^{2} + 405180409432861882184079777792a - 225669720043410065418115292800 )x^{7} + (-449109277998061148966449430688a^{2} - 286469809701259827090644229984a - 512644103282149078426046105104 )x^{6} + (242034648867650230377669951648a^{2} - 616309299504767881008015719824a - 188454734384184858819795855952 )x^{5} + (467391515042364371068469466664a^{2} + 104367399226975149661612048088a - 446064532306699809482078121856 )x^{4} + (148027129769503965287593610880a^{2} - 527562791253035214131095550400a - 545821185318735004550437155808 )x^{3} + (615077803238539273379405432720a^{2} - 400716794847647698330991256000a - 138100976286810965520154097984 )x^{2} + (-387350475944201947371641887936a^{2} + 255915082472437873033754783616a - 199595924291799673809291174016 )x - 139451472424030510869003440944a^{2} + 145188706625244383226183512888a + 165933327667637678344854237284 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary