← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (-608531468849681762209285490956a^{2} - 307967659481976390485590129892a + 192573862219297987932698106064 )x^{46} + (-90459926411836965911015716216a^{2} + 331211417738631158366180166328a - 528875395038857081654830303136 )x^{45} + (332469761540080875813559251504a^{2} - 304319509609864635962056299620a - 376112847398067585584198272048 )x^{44} + (-172969087989626808585798488400a^{2} - 537518830297430712259103060224a - 213213483581416459709412116512 )x^{43} + (490324905140459772405980268224a^{2} - 306145214347424840224230804452a + 134598582773102027351401122496 )x^{42} + (488244962728084166671792930112a^{2} + 346138424914160920318735906296a - 514650670236195560059459267056 )x^{41} + (149929004210069015995036629968a^{2} - 108913218693969416328173043100a + 531769115998484106500110324976 )x^{40} + (-24673801099944248064550633104a^{2} + 406790926836633872774400991216a - 548233199273849818866144506528 )x^{39} + (-199976774305114820106173791376a^{2} - 574203686768133299340705724552a - 394876007360232027835201405280 )x^{38} + (-436539605773413935590153585080a^{2} + 531183911130575794334342674496a - 305093517186388839759094494384 )x^{37} + (-270448797586810477671972415464a^{2} + 426987719494386189252659689716a + 126733740825119406325332011360 )x^{36} + (66829763144683357184954962144a^{2} + 172536222780936883444914658096a + 111980679219776549040540010400 )x^{35} + (624750899824630316757586868256a^{2} - 452355819157122519687314705564a - 202779720732009427902754264704 )x^{34} + (528543563185763793524329744200a^{2} - 491425353447970764181671223264a - 573254848734761475852220283136 )x^{33} + (-241705462776708527318079776988a^{2} - 574612284584491535907207813886a - 506281819218967137715820951004 )x^{32} + (-147762690378061923638782353584a^{2} + 474834883260258197031573169600a + 123490044304503340409987583344 )x^{31} + (-532048828002531297981970602144a^{2} - 389616908048568407728825847168a - 243273031574438722141418663280 )x^{30} + (-233911662391578933182483014128a^{2} + 234810987423319009280543264296a + 399935950341362060652049414016 )x^{29} + (207376545636883889185165889420a^{2} + 428672655543178488144895069428a - 410637067366933658961565006200 )x^{28} + (-107881917765276927639438843360a^{2} - 54839465418841527140801758784a - 4189246711732820618265633936 )x^{27} + (566284734676480642693868540608a^{2} + 155689225498568216149978200320a + 325086790044271836522937255104 )x^{26} + (432214506793843636032572639680a^{2} - 510579885428116270390661716640a - 242706916295149726959066881184 )x^{25} + (-547703620108987306148271076352a^{2} - 74069994609553477893760737460a + 311199119499289900941420669204 )x^{24} + (396963316444812799601989552016a^{2} + 164948163127664159425236864880a + 552573650864527782828781594720 )x^{23} + (509086794851959573477649637768a^{2} - 315136795771265220406962446136a - 211175121124291315831472988800 )x^{22} + (388123570413170501056035296288a^{2} - 470847062575139634886618679856a + 360866660260870499033231339632 )x^{21} + (-327928719172437319454110615272a^{2} - 90896458639914798393323614464a - 130352530350392943045097440808 )x^{20} + (166557577188691803140055509952a^{2} + 34305319129544301067156094144a - 354682327607256506340971190944 )x^{19} + (-136635014271740276733144278152a^{2} + 9330229535919924847621034592a - 554469315230934376934401663192 )x^{18} + (509216810070058320737013802240a^{2} + 352691367975093113609232893648a - 34764199099284889904185314880 )x^{17} + (558380551843498560224916854240a^{2} + 622426591881782912517340179420a - 211704062097349701322181244248 )x^{16} + (418163728210447912712534456864a^{2} - 180871766466801152532898514976a - 408350042313736797827737885824 )x^{15} + (-341094678647683624729240141640a^{2} - 538611426748615477454890092808a + 194319044558860219296641115064 )x^{14} + (34996739780743059099500287232a^{2} - 566313687351197904210073814688a - 575104522718857100435532071280 )x^{13} + (-552558144463960067602976256544a^{2} - 48851866605990496337763608336a + 149772862108955178342518135536 )x^{12} + (-602674271578019697645199238848a^{2} - 306793327700638103479620426656a - 30077990503692652606030791072 )x^{11} + (445895086096888177947145434224a^{2} - 5936817602466103895048167848a + 348226367558815425955635433312 )x^{10} + (-109653794558040711799799152240a^{2} - 301323150785688570107355748832a + 108152618224648063375027492192 )x^{9} + (561109419815251135878240143336a^{2} - 555517721826149370604078211524a + 209473969977158479884328879872 )x^{8} + (284165419376758101641083709696a^{2} + 370075676787589204693529549632a - 24184499162554351154134863744 )x^{7} + (582004618941854875808286108000a^{2} + 362446053842091961313133959648a + 509440985626529175686428884304 )x^{6} + (56852498609307571938057783712a^{2} + 435625803472182476706399331280a + 76251673421873729084665160272 )x^{5} + (-97106011160226997075619430424a^{2} - 528341022525622337567900229016a - 466408310973435608375227509520 )x^{4} + (429898494696151861364026278592a^{2} - 499190417449609825717383935360a + 89266820468113505022727329120 )x^{3} + (-165922657180300643722014033872a^{2} - 331540928333925417265200669984a + 470675546626838451449075339456 )x^{2} + (410204915617181329076616192384a^{2} - 204838111626330174310765896416a - 423411187972101654631974846240 )x - 536319977744897623196222854160a^{2} + 424293470423623706856293931784a + 215806406440017079570063282724 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary