← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (-282948907841276764440504592468a^{2} + 607801357434812893815661976748a + 247797044304113172011339246180 )x^{46} + (-280276841520260289145625000872a^{2} - 630985275921061714322262949344a - 116284507960105905178896392600 )x^{45} + (-417719390290904819343983506816a^{2} - 3231700444797936929157915936a - 328632321176531881485124940048 )x^{44} + (163513479187705799903063255392a^{2} + 118446776720217757011512045560a - 283722906826761547653781182776 )x^{43} + (-21509485146672482567356697436a^{2} - 549280290444185621460272057732a + 431210077180739332449603484636 )x^{42} + (-397827380525201312492235406680a^{2} - 367174826089384579269586501840a - 171612841483096148939751085848 )x^{41} + (350881820414887289795004021660a^{2} + 179463134425031018622172008416a + 429939923481172755091451169636 )x^{40} + (-136825730319301763397787899888a^{2} + 530602637911077298931368198096a - 218475822642553096525164897648 )x^{39} + (406387881810860538774025307132a^{2} + 88760390222072988830594991952a - 371577454348154263290007833220 )x^{38} + (391813092024202603815171080632a^{2} - 383392715310441633758946503560a + 410748603728097713043570173240 )x^{37} + (-287559053420023195006559433964a^{2} - 248124189449095548240527392020a + 46778772668434487518725328592 )x^{36} + (77014455130180793226819641872a^{2} + 472539794940862210911695314256a + 198940805842939622738491804256 )x^{35} + (-86487603866077342203270597736a^{2} + 172294843438261019535325958276a + 308722031237010204274464630800 )x^{34} + (103891996707599413086113421616a^{2} - 460089226779681640916680050712a + 24111354410417045592173302920 )x^{33} + (-86442675631617078358076828086a^{2} - 159509342049064670122044175778a - 554668933217979411028800129092 )x^{32} + (279789677299120486417438451920a^{2} - 92645645243698791371055329840a - 573507017365031704854613972384 )x^{31} + (-227674381590849263634517982584a^{2} + 569473163915606059632713670560a + 435612436919982734305830710152 )x^{30} + (-72115400479551707491226822168a^{2} - 553387248556079307203049216360a + 272829341286879065784083394512 )x^{29} + (17117792992126012989407094068a^{2} + 433561364394698853451021881224a - 105412098609496088866296862380 )x^{28} + (157174840421140053474702768528a^{2} + 82467689243359525718872640672a - 220237619039568497091840699664 )x^{27} + (-350504087597334681215529391248a^{2} + 557242506966244844875486673424a - 258275619855768310344456436568 )x^{26} + (-480888212232999159376091082712a^{2} - 337832412036248044550976110128a + 515930705395662398426536631528 )x^{25} + (-173822384612079621856091626080a^{2} - 169812623353559379477494946452a - 343877020001403157714986280520 )x^{24} + (-523084489492911792928168530944a^{2} - 94406448286334564236340844800a - 333186552179789063222364061888 )x^{23} + (-633055870873722418917831328712a^{2} - 240939994738095678415463054816a - 617598223510713911857685161272 )x^{22} + (-606869134640994047141322076480a^{2} - 467320378394695096051988565808a - 424109935982839191154325816496 )x^{21} + (-485374311067455252568858087904a^{2} + 446057890464981102128199881128a - 348713153213831430400973655056 )x^{20} + (147840719282972378402163805424a^{2} + 590775055422584071336890173360a - 63012947534791541594997417088 )x^{19} + (424868536958051677922959062136a^{2} + 196739599883692928566603415704a + 289841700120000308205481212632 )x^{18} + (300992961222992460801652798128a^{2} - 21894203370709025413835913520a - 418498180406861789749952666848 )x^{17} + (203325476222677177994420607256a^{2} + 295386375160072529735697275168a - 268588070216557448011990624284 )x^{16} + (-252980070239029273378359455424a^{2} - 421582234461091127094862569376a - 182212605759686362514026801120 )x^{15} + (275440040972469490251057614752a^{2} + 289186888900043617277516607280a - 57611174580700681797297190768 )x^{14} + (-258585724651991656803741454736a^{2} - 284718330121259210919046278368a - 627868897063619436611002727728 )x^{13} + (-107392609413790419690076876752a^{2} - 386483545891506346544028374456a - 521602790280477192153782479920 )x^{12} + (362965822280144826918295608832a^{2} + 408193232801579689171124286784a - 537089502313672653130653696576 )x^{11} + (-43762707033727151300844959832a^{2} - 333012657691625056928298442064a + 142498636770614218763628992352 )x^{10} + (454438226067170658990795891264a^{2} + 525587322044806545268195680176a - 253196182839993403244853082736 )x^{9} + (563455789839130258466725689348a^{2} + 315268322504576015961208863508a + 582028890063217622008014712588 )x^{8} + (163513026621950176132895084960a^{2} + 314273866040457922862651629664a - 165462478403870116803993214624 )x^{7} + (291792522262271479511278143280a^{2} - 605656212851699951708424431536a + 414133910843472396338774024288 )x^{6} + (-547860688995217351669741420032a^{2} + 442212679756508573844990653952a + 73541021368044560860044888992 )x^{5} + (484189673633792914000474976800a^{2} - 480936577080040532269848220720a - 441982754399567827641204197544 )x^{4} + (491011450625099195083839102176a^{2} + 338244532912866346638728252320a - 304339559229387869980506292064 )x^{3} + (-458859282919436222830717405760a^{2} + 142252009546765093180908339200a - 48697893627340024308824348416 )x^{2} + (-494313889472024019369136889728a^{2} + 525317041860195761718393918272a + 296925299000632096061801292592 )x - 33640959285692108306806701212a^{2} + 566499913734082883731891985664a + 66383824035063283870340063648 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary