← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (-586583933719503243742721736420a^{2} - 587235219443915959471265833884a + 178905185976246920183778093260 )x^{46} + (-401005376198794076852391191096a^{2} + 170660091701226444101955674352a - 328873426584736726136213109544 )x^{45} + (-460374185148873834153360860624a^{2} + 479278347511764672193774905736a + 183894813427359499714665803760 )x^{44} + (598876839802618944200032494272a^{2} + 235700786849874019106887576264a + 187154779542885493084599381912 )x^{43} + (-17750394122215173905591096124a^{2} - 175365941555214837643366074236a + 45189551813520650784800988500 )x^{42} + (-185060732814241738814454103048a^{2} + 537236500636376313717445199432a - 371896739692702896692709351416 )x^{41} + (426536729599980729118585557700a^{2} - 59142864070833491512186386400a + 134156159279562088655390695548 )x^{40} + (218054594240954040686381535472a^{2} + 258509485990781999155688247632a - 109043637803835783137609696784 )x^{39} + (594415833341405898985531132892a^{2} - 59763614385915694629005524064a + 562667036310621520892710630252 )x^{38} + (543148156504271957926954569448a^{2} + 463550722886655165858663677944a + 609320917339850878164817884184 )x^{37} + (74990379126313666175414026500a^{2} - 61601516303050998558280551300a - 224539853355166973583995977944 )x^{36} + (77508641587676098052271767280a^{2} + 184862934029838204078116070704a + 605574182526180902061694584032 )x^{35} + (-572506798713983548778160191080a^{2} - 272214441946300476218539216780a + 111615519829838826785603113616 )x^{34} + (-385724467255103414770911083856a^{2} - 205686416694581370490850229448a + 275319050167467142767497337096 )x^{33} + (-630565402287490378291124416890a^{2} + 273767618336070071409850793062a + 520990937274436263945055666744 )x^{32} + (-136579763946548020096513795696a^{2} + 419879665497229709195358889680a + 588385954844663785077172681824 )x^{31} + (126712866099612899425835296760a^{2} - 622074730330556272193965102944a - 99029704376211109703168000488 )x^{30} + (-263812301938191018523239947672a^{2} + 1106218409484297429463702008a - 156790190644193918973782393168 )x^{29} + (176259392374617977927595659916a^{2} + 550281451167815284744475401352a + 604184854207194362060733815660 )x^{28} + (270795438380196591500594240144a^{2} - 368788766177704634255349270784a - 482665090327662340093119142192 )x^{27} + (314564811889732379390501919504a^{2} - 2781217648351334434279841728a - 632825576038439484501236226376 )x^{26} + (-218928876566090215417914575976a^{2} - 459668457282065000640967665456a - 480566793412771111131742543032 )x^{25} + (250837949933851507089293638792a^{2} + 122391542578311584481762261332a + 626715840743324849214746095552 )x^{24} + (-533225499381938455474569254048a^{2} + 357354644220760681996921733856a + 144995156385062962273487925120 )x^{23} + (168522602157341355348585655800a^{2} + 604438250133966060560896129696a + 120998687386775340377607460536 )x^{22} + (183033002345378511501932182976a^{2} - 64785782602195067963006909680a - 182740770160406543188286792208 )x^{21} + (-198584272625965610789338662736a^{2} + 622535017599652249208165883000a - 202739642692653696616635432448 )x^{20} + (-144720604552205677562904197968a^{2} + 37740633538979919266513493200a + 131509264421185238640961798048 )x^{19} + (358038283555643692826266719384a^{2} + 116921685325348231201812994456a + 224186175220881192869679620504 )x^{18} + (-162485736706276435287326349872a^{2} - 5025377950822220903312833008a - 187252703699820959982369576160 )x^{17} + (559173189112144029585823986280a^{2} + 225136923424888418743723723936a - 25561322923753216591598721548 )x^{16} + (190771013064828188966254513984a^{2} + 445463160758125541659700038496a - 600174548345039755701017280480 )x^{15} + (484856016061232466258148984896a^{2} - 164115566842904669216038693456a + 480889916351884224157227479632 )x^{14} + (543383819128507176243585087184a^{2} + 588358611907496399498989115328a + 537888507490899832219021962416 )x^{13} + (-439087669592528862658079977808a^{2} - 183097788943529084240090038536a - 581702873252174801108744016176 )x^{12} + (518194274404461186803749046528a^{2} + 354548643972213150143840106688a + 91098179868795469089190265280 )x^{11} + (-86158777805387415452784482440a^{2} - 548300038069937100852333672736a + 531056517175256623861685488864 )x^{10} + (582397291643700306122842824224a^{2} - 375262894109653748333587753168a - 273358959877071809100709267952 )x^{9} + (300723634270944994689093550660a^{2} + 523994271629625207062257565956a - 628977227341393790030134951124 )x^{8} + (494415659252946417413394351776a^{2} + 29953031468878929069694473376a - 595478257556410386347880549472 )x^{7} + (-257718711809135975982704547088a^{2} - 140830639603260161708681319504a - 239087879680709970869080756192 )x^{6} + (-611730024058731690375550542528a^{2} + 376326802389920177308655299392a - 592644709223191062905205720192 )x^{5} + (81557753594166962184488416144a^{2} + 406723394694588959029241104112a + 572883353129968474829192762760 )x^{4} + (-69593582887544687154044091808a^{2} + 129126595774991584154127235232a - 94045625472470598065292330336 )x^{3} + (136801818634569215737227698736a^{2} - 416435295696371636307259649680a + 421781917141042486776026731024 )x^{2} + (536295669255317266769103708896a^{2} + 347571291989661293360522355680a + 372128001559446875903097067408 )x - 15126268682380341911195549084a^{2} + 488949491192948317536212736704a - 495421076590613921624560267232 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary