← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (472173454729996002624057231524a^{2} - 314012447991030846074849859124a + 224431627323658118935765289516 )x^{46} + (475838116277459066980263698904a^{2} - 83847758362511852810093683920a - 38178368086688991297418999224 )x^{45} + (-144496349527960946155881241944a^{2} + 492278539016142586529829821072a + 441598190556876173857640950256 )x^{44} + (227166287670444029432931504800a^{2} - 183019846520255620489617130232a + 205560611687284695846276917512 )x^{43} + (493168241243589141864297686412a^{2} + 589512942346829650157437925972a - 549313421989988249965901255548 )x^{42} + (-48093527976911966861311336888a^{2} - 160504475579153447831226134256a + 614704612594836839139855196816 )x^{41} + (279494736414783317386376029092a^{2} + 52868810566713432268958553096a + 269125017312957959458322714944 )x^{40} + (-465543148274378351818308014928a^{2} - 194673054154671331079760183216a - 359019894011763635396355378160 )x^{39} + (-328458583457892133648814742500a^{2} + 466955255643278477864254757936a + 148563642827536246319889970252 )x^{38} + (118815944105176078458080397000a^{2} + 394007622869383295452211491704a + 547291189220756703125129235576 )x^{37} + (-38362650220922105789010680964a^{2} - 170017870067048750895693714900a - 442330508950450337075980101800 )x^{36} + (-430965623711193631850488277456a^{2} - 223153704919712237822072095472a - 630899658104705501157224664512 )x^{35} + (-402350227409414230340432733120a^{2} - 193305432942747085134072808820a + 62495868149641042860993011904 )x^{34} + (-333428325186597251718265625648a^{2} + 133033393247983519635126401176a - 290205799156541914869332206856 )x^{33} + (-224464951521431603246373675202a^{2} - 475790517718311945866366830094a + 240246946219013641214221945100 )x^{32} + (176164440531777717159033038096a^{2} - 413195988860021899149844485392a + 455769156046817982909821504992 )x^{31} + (494707178999960479289313017240a^{2} - 447778080844244389792829488192a - 139265544496077911609807937592 )x^{30} + (-92316144563630761063659179384a^{2} - 257635590663009936153602389320a + 558013973494295274928660926704 )x^{29} + (207472595477916507784090730436a^{2} - 35923834183588873635939359464a + 100353072268495392620811859300 )x^{28} + (381101589153784826913502211280a^{2} - 533485428462970613690632423008a + 291628916413024516522979609136 )x^{27} + (-609127535353348550999090602480a^{2} - 387600723673210522966673136960a - 512027814765497412107524892168 )x^{26} + (-124414331497752913762114373048a^{2} - 134316878185290222033238718016a - 202769454107033276687445482808 )x^{25} + (593850746064435123080712741312a^{2} + 437833986903810679221259486172a + 553601849467140759891477632368 )x^{24} + (-220628684201991106069754954784a^{2} + 418653661844986575870253899520a + 623778907204218986597953046656 )x^{23} + (60769226425445368808989166648a^{2} + 407893130611597799365674631312a - 504603012048778828372094953832 )x^{22} + (82922150853351427279073164096a^{2} - 280693777947498922744961221264a + 105836491819482787187382508816 )x^{21} + (353943898940938414044325727320a^{2} - 464926815177058842553861079528a - 544573359878599924699711079672 )x^{20} + (419911767975075226414334135984a^{2} + 516397819234708684591469156368a - 392092448406555059684130453952 )x^{19} + (-617079170179006395480084233128a^{2} - 484625709562920192157230221848a + 10885836535289110900232825336 )x^{18} + (572141570944780397519044438192a^{2} - 555380571972056990995793937424a + 633166090421302732779077176032 )x^{17} + (-16841009680828046964675056328a^{2} - 417835685714550801038563304792a + 620067384108684176449058668804 )x^{16} + (125517373528452612597376736064a^{2} - 587773186445706917192797340640a - 616365375448605926507006551200 )x^{15} + (615412086784279131570402603136a^{2} - 1981975961549949725256968720a - 371572605101327559598323205360 )x^{14} + (-211593232998651114923166333168a^{2} - 134114441067750455809716956128a - 623142815070385322355813867280 )x^{13} + (306778682100801418048381070224a^{2} - 19065379164551822578089810392a - 32996321540499250681158488320 )x^{12} + (500443405520037707472933297824a^{2} - 424880557516281851629477922208a + 39370479367582210555842985792 )x^{11} + (-23755274604414462574800157464a^{2} - 80026418145549926219826232704a - 109700523825594394280479018864 )x^{10} + (8629458766447785612261014848a^{2} + 137101638727867499542489265616a + 577212650028111159215158102640 )x^{9} + (-54710643482956653003637787852a^{2} + 596374638754227964100845688228a + 246108479490229486875318204220 )x^{8} + (-135501628105794004397730381984a^{2} + 396533530885362568454260612896a - 126864897193141137611198694368 )x^{7} + (398332699446160136036638734256a^{2} + 492966470063348840753586205808a + 554901999340594783453521369760 )x^{6} + (-621770290720203009551244759584a^{2} + 210777049695732817444791073632a - 367648711526872647182728043776 )x^{5} + (486855074923834358781972917248a^{2} - 17926025494425971528921820656a - 256626067888001173487312141176 )x^{4} + (462099294281415026661093181152a^{2} + 221660483001164369177425591776a - 520439025142559991877618107488 )x^{3} + (-420000103131630908328194625072a^{2} - 90027423652007337407098853040a + 451816642231095189588234180768 )x^{2} + (-531478514501292686560381502560a^{2} + 242103268900029197569900020544a + 343255268036850750407630676368 )x - 181394241881089945265700749516a^{2} + 442375996800003349729243301792a - 224028177632350342570022938784 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary