← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (176196167261906515972860811360a^{2} - 13079568368301233200725020952a - 112909662178349362987978512096 )x^{47} + (-208706202201771586001304343804a^{2} - 372905596954903694938573445596a + 4285013006198162150370296452 )x^{46} + (-82051418543462445915917451000a^{2} + 468716717312285785134372599520a - 126112229636497613795310616520 )x^{45} + (536472438680444993749457741416a^{2} + 627199565255944293263858127240a - 136947262721405493103896099312 )x^{44} + (-395979865820801961204562674336a^{2} - 1929057157291002789438603560a - 28576960070361445834249690824 )x^{43} + (-608589517352560054198547859156a^{2} - 437261411056149801527060168740a + 456649032904015621362662689164 )x^{42} + (-572279538669145991465095474456a^{2} - 606394172694208689313453345160a + 465942767848892908474709951600 )x^{41} + (-198404442914307544412351213364a^{2} - 30399796374907784106020881128a - 462886152743833048494199661056 )x^{40} + (-77869553079213869670937450096a^{2} - 341136619829203437076597147696a - 85514330599968704616250641936 )x^{39} + (485938876083474036434734167996a^{2} - 92939313480348390244049084224a + 183415570158837501891121083484 )x^{38} + (233119792319291364062430733304a^{2} + 627790407359291489001892798616a - 40812053598470910107496194888 )x^{37} + (-424089208673135444680601722916a^{2} - 255731616860154417923432597300a + 341174647255157418238648345216 )x^{36} + (467031824249123992462137366576a^{2} - 274658625327758373113821079856a + 607965099764077528371878228960 )x^{35} + (-8854602840693597288690760960a^{2} + 472196824134087950418083346348a + 586333678532291553061339230192 )x^{34} + (458615583161962719068657842928a^{2} - 280764245531843100622330973048a - 358847898327048322994144893512 )x^{33} + (592684839738750777145520372706a^{2} - 122941190370996248986117784646a - 329723497681646283383410969368 )x^{32} + (313598659785676810664269655504a^{2} - 300162743962884009383256335760a - 286416537880139156590134071456 )x^{31} + (375535508316197654032526209832a^{2} - 260950217237086450503957186208a + 375356505151535530094911643576 )x^{30} + (-541590906600378608854109330936a^{2} + 9554204428834113243294740760a - 563647488233676354738363768368 )x^{29} + (-181101367056338134079935899092a^{2} - 512289505748410622480436566184a - 282335395812334549256723786116 )x^{28} + (485572260657254130135749652560a^{2} - 234915278641400509225091720128a + 126929719280580560520925260560 )x^{27} + (292531487582382789732273802064a^{2} - 406874653498949518734898229808a + 7151373495587373734128039112 )x^{26} + (-596416697437728859020495517224a^{2} + 448712792652037696692556220192a - 27382197244120173704334287064 )x^{25} + (160176578124550051945360093368a^{2} + 321118439736962949364221052148a - 168866871054335019699763600904 )x^{24} + (90694962866867214159072051136a^{2} + 460196780274310526530215801056a + 22235615516331188246745691520 )x^{23} + (453781762191039824666137055992a^{2} + 72000913084864325123060053808a - 231698988295907702754365802040 )x^{22} + (221393285066804706033295246336a^{2} - 544768758496941436830238693136a - 330260574247012226891682400848 )x^{21} + (120151390971783140793170972520a^{2} - 303294772872040939830202541976a + 226553732387533110433423509400 )x^{20} + (-229515528876912955209520600912a^{2} + 292093084314120398823992031024a - 475306230007491134178826651488 )x^{19} + (-323485134724503681697051764680a^{2} + 613179760281852203347844759368a + 110492642261509655820439415288 )x^{18} + (10098294853659849552295526192a^{2} + 52335374342463120473918315728a + 472874993706853315486676083008 )x^{17} + (427344543849494010637979765800a^{2} - 292792015976198338147292196504a - 251113032554734395650808601276 )x^{16} + (37958613974151555369353314240a^{2} + 235213249259278723088721383328a + 236153587289409217671472349408 )x^{15} + (358094581825389533907744381728a^{2} + 12538555301462904850928350512a + 165313297906192943662156862352 )x^{14} + (188070832478437246123115251440a^{2} + 590393045818407755125162450304a - 212092512636761421848689813104 )x^{13} + (319127440582255481094832441008a^{2} + 545870242424861709968978821848a + 7096821526464056068399899616 )x^{12} + (-632592977553180834410060761568a^{2} + 605785811838936047614612566880a + 193994825152285665726048015936 )x^{11} + (71437407380826995964177753176a^{2} + 543426955921208968977182711920a - 587588718780707373443875607344 )x^{10} + (-249865221520486870524646561248a^{2} - 63910657030034422629615867504a - 116187977575586283567412397648 )x^{9} + (-297181172650000746443938333100a^{2} + 490367817389296619243385264372a + 183077321499793528615902665404 )x^{8} + (-244098460886354891274651437344a^{2} + 272067062975683120945979257824a + 403455280047728991548845280608 )x^{7} + (192220477220527251548054277808a^{2} - 232342272632471464696664487920a - 303167183406392784545680447840 )x^{6} + (421535613209007276545810680032a^{2} + 387573475470077038947348473120a - 316544218607846705579200860384 )x^{5} + (289944274507423043538517800528a^{2} - 346931461012319015038388266832a + 529706942876822423829297389720 )x^{4} + (-295598062914424633524007067040a^{2} + 546031016158971272045675112544a - 177725583699749137610217998944 )x^{3} + (562327901036166076733289193856a^{2} + 304382916836928479003143458976a - 622551812695693553252572022544 )x^{2} + (598714029269082665968369068160a^{2} - 162457040379153543097357765280a - 138992775020521832824750624016 )x + 375637308673584864041900719412a^{2} + 352487099281854644124890250016a + 542607429336250905315084329248 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary