← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (45699983024822412323362834364a^{2} + 497835875739805291583276135292a + 319534059505815005981435193896 )x^{46} + (-358279341137819847415459149416a^{2} + 440397603158862995839933023016a + 343283408900146354890839303936 )x^{45} + (-503216637525594704195395532592a^{2} - 471338971069301401889677794116a - 398054709068013135382815351608 )x^{44} + (-41724271955027316739245453664a^{2} + 485791622618444845798223892976a - 427659114543398110161626967424 )x^{43} + (84035387986744823849668267520a^{2} + 282406569777434794931231388860a - 416171757268173652393085465704 )x^{42} + (-517408125810353405269627626192a^{2} - 468759128449131133786883999064a + 78552003217779938507731930088 )x^{41} + (-343181739822907409696529061956a^{2} - 194449081201043641242088652892a + 614471187931992200141332277308 )x^{40} + (-317864657074299441928896517264a^{2} - 275774461883241626991669839216a + 129309549878167815904835763904 )x^{39} + (37183246537109519446626685808a^{2} + 188166831502684832560208307152a - 356501975498946508406020296792 )x^{38} + (-9609188486109293528303420040a^{2} - 110245968233440565740773368416a + 395415509364665336125033779552 )x^{37} + (499754137974884788098343088152a^{2} + 507420817284214212767687086940a - 517437659776701508251483096920 )x^{36} + (-614653984487109897215485248784a^{2} - 21894187080345330326177371504a + 231140325908969640473454760496 )x^{35} + (382524781517063189372686567624a^{2} - 41513424846789051418170566004a - 292939856177501072932765696368 )x^{34} + (-440304990601749724474803436504a^{2} - 151433762398742472093508971648a + 478137059659699266925272526688 )x^{33} + (39199199644390003261016802224a^{2} - 15865454296273226771517805598a + 219502480316943703219859405896 )x^{32} + (263078254951369268334215548912a^{2} - 212171084542245847107983591008a + 29579090222718122600533413520 )x^{31} + (196569301650373224511596806272a^{2} - 486426758805183450799508580256a - 570520870340476885339253576592 )x^{30} + (533425589371091946378889936464a^{2} - 201015362588991328750313569592a + 536670044456034714185957973792 )x^{29} + (304650621403804417439877079244a^{2} - 631187501729645074885274180132a - 119284370334693229313180215440 )x^{28} + (404923830916634175501413146400a^{2} + 215968862588720085818209101376a + 383158832900841640259329081552 )x^{27} + (461412089537987416910508402712a^{2} + 371365611593182406186125161560a - 351224661157104980331618229488 )x^{26} + (371738085035874150128060941744a^{2} + 265419457841010237200820531840a + 568116429478211826032739053104 )x^{25} + (296901771567479421124128943360a^{2} - 90597273513807971510238783900a + 431354943092771128791323192716 )x^{24} + (271675715399579501980811119088a^{2} - 327778099626221739001810905520a + 597901093704785030959488699104 )x^{23} + (-290163648363729321149017259480a^{2} + 471146821935274106079467281928a + 406787814024954648497999313888 )x^{22} + (-463738341433195297792256930688a^{2} - 330918271739273849204912950992a + 32169319937816388058538924752 )x^{21} + (115411590380821124676040921752a^{2} - 266262556149142577257757663592a - 260233560411852966607369127488 )x^{20} + (-423520521306865548701805793696a^{2} + 444741629835316364888506255680a - 395358759574471995686955210944 )x^{19} + (-290293111701778303813153992872a^{2} - 202411305415095841699262541728a - 13269506623814353666182288104 )x^{18} + (-266131536961578101361819165232a^{2} + 294628280386508791158087831568a + 89268761941423770403007126848 )x^{17} + (-631646500692252903204974450904a^{2} + 479914985219199267293818073596a + 9920085253400747950269885600 )x^{16} + (31174655914610426090818553824a^{2} - 542912432747467693679702473888a - 415589654310239195767665671040 )x^{15} + (-218894452126398025939935177320a^{2} + 111171341382487008114703858776a + 496400324428241131171525483704 )x^{14} + (480209451217094141194650696768a^{2} + 616361582659410457857258225376a + 9223935829474783953047951728 )x^{13} + (-522914278185310917919539772688a^{2} + 210368767902878712739614274976a + 350250356505260272395977507952 )x^{12} + (-254600044047860962985693173056a^{2} + 630027640339048828428949591552a + 65230622934589410736935725344 )x^{11} + (390526008851427199743782961392a^{2} - 628585791547466449685123128696a + 245831565984565771613790933872 )x^{10} + (-358744429672376149296281514960a^{2} + 181818407216723172347592043584a - 71138504574737785357014235680 )x^{9} + (489209477547600096238759134680a^{2} + 131412801027421395959081736508a - 532170144426569654929257810672 )x^{8} + (323027582173574751102484969472a^{2} - 596400325653902997320836903744a + 310034572830893598767716031936 )x^{7} + (345715405243384098558764404512a^{2} + 420285946883143981822452624672a - 340842840250603279527412782576 )x^{6} + (-390301901891669071445077227968a^{2} - 603874954376431251249130926128a - 571599375183334661165505789136 )x^{5} + (258402056088847069497835106936a^{2} + 313723949551479628118774430264a - 282900142263877311446461976672 )x^{4} + (182334247804866986742144414464a^{2} - 177595213310007121144812012864a + 326299772149954453072115231712 )x^{3} + (-111917002822394535301893527280a^{2} + 167187356482900244556450728096a - 193675004910016541429919810784 )x^{2} + (-367825228564524134470774177536a^{2} + 316373268466321772113463995584a + 346907054065602638287745561120 )x + 329263678768702379335042220800a^{2} + 120440088173494228616627969592a + 131153225258901831806791747076 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary