← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (267139998245277480366464297820a^{2} - 226389282465775436683475358084a + 265162460400061114151319950032 )x^{46} + (-61677191382690429760345534648a^{2} + 350538965036715610162163973592a - 510076943333276427334634861200 )x^{45} + (271648729125750523595240297504a^{2} + 468586797401991255609092016772a + 381232231747948260970290898944 )x^{44} + (514095660315945618466539866912a^{2} + 186906625076479484647561634000a + 387063664273920124167314538624 )x^{43} + (-47964739574275763187056979168a^{2} - 386936198879425373725797767076a + 255691241934215972212068356456 )x^{42} + (339862418035264723817382485912a^{2} - 401784839800881339683700367160a - 631801288360612221528408918120 )x^{41} + (-470309429383898405507592074828a^{2} + 41431257929257871931705471092a + 28671586532275433756274023540 )x^{40} + (-192392055288465067116572695696a^{2} - 540052657785883767234418270416a + 601531762992590069902798792896 )x^{39} + (479397216197091829797235546464a^{2} - 161232523521551843420968498912a + 276380986624199888642365618464 )x^{38} + (439160518173568316768776150984a^{2} + 358905015734313787907080897088a - 465267305418798010082152382912 )x^{37} + (-364194580741334020687959177536a^{2} + 556886266859146849748895849276a - 199213607568696486714073083976 )x^{36} + (215098953512860186207799749936a^{2} - 166502195184680309784608488624a - 326598875879892853748790492976 )x^{35} + (602803333946858436588965038288a^{2} - 285683993182180100384268128356a + 8205888534838171325497086400 )x^{34} + (-101557992745116226512258086728a^{2} - 522037374461574159693202152704a - 544211692652345493258302551040 )x^{33} + (-220984006094443134585638422040a^{2} - 490582593391769169018859151690a + 548344384411180026334684910244 )x^{32} + (-497718184921429510346562880560a^{2} + 472587260743445480667914602912a - 402735970835848107367168469744 )x^{31} + (485326549614342497653688859568a^{2} - 184926826173235050504151747312a - 242755772219124628333512798816 )x^{30} + (517763341019468418319654442640a^{2} - 529372603899480132619119118072a - 76115673941572208654254703424 )x^{29} + (-604507900032669636541016268044a^{2} + 475579928849509348364319924436a - 41929979664346390275994244752 )x^{28} + (184929677627601726517229003680a^{2} - 453351198104488213411396983936a - 130843910637570373020623528944 )x^{27} + (-416167075356399184668767575936a^{2} - 109505299498048509699030478472a + 345556059213010139707580089128 )x^{26} + (621638463637546043994312836432a^{2} + 221622178659318843507184084080a + 203297372356443639394991378576 )x^{25} + (-130665585418222832817655255816a^{2} + 112991803677431987058110265884a - 120250618237305735105105335852 )x^{24} + (-359320477706022571372591632144a^{2} + 179584490502646998954635010928a - 69756097193189748496604950240 )x^{23} + (6411005175502128238168962888a^{2} + 57852955367475379715591220232a - 223994825831963069313216535264 )x^{22} + (464193988837161431700709526528a^{2} - 338993214485484390842392339152a - 421871112491706910393765988016 )x^{21} + (178945548092045708816960773496a^{2} - 510819675792101555229025127608a + 418053546514585804648099679600 )x^{20} + (562147592152763220286887931936a^{2} + 468516497895215991622545983392a + 173095882157181923836850863104 )x^{19} + (117440389860776374605940652792a^{2} + 603937804396365914530894980640a - 628945717291520578031458864280 )x^{18} + (-137576598930856690020588743232a^{2} - 93641614858924201329720205792a - 564606853390413904123604161760 )x^{17} + (-350345298298998024935614875720a^{2} + 427481585038918300960636771756a - 593924851897027355954569272608 )x^{16} + (108976076346945819547184375904a^{2} - 191021560122663982780635668896a + 295259545568065986988899805120 )x^{15} + (609708092653774255120331743000a^{2} - 193457922291388269964715937032a - 176480776193589464040978959048 )x^{14} + (367501698253948023310891077472a^{2} - 324430971023671814288713275904a - 433999265788198287993374784400 )x^{13} + (530957263884785913356246378128a^{2} - 227089010214340103252267469136a + 108063628850394565226136483136 )x^{12} + (-210624756564959436906267973824a^{2} + 9579009221688325091512784896a + 197835243509778768426108064 )x^{11} + (602131001641011988649889711168a^{2} - 246620211472152781088568985256a - 228501492698506546484826951040 )x^{10} + (484512374256066247342789492720a^{2} - 397595662909867271365444470304a - 271455428722584379862979910848 )x^{9} + (60872936553660799354091762504a^{2} + 603158128104221316300503960476a - 255773262816756444047158852080 )x^{8} + (-209596588843029251155427563840a^{2} + 479561231928291178902095658240a - 612927966964526666351972411456 )x^{7} + (521705593887954640385779861856a^{2} + 551582368741704171439271686176a - 6862553266992989934288348112 )x^{6} + (74801145472803428152104870976a^{2} + 626854275832060572875052147248a + 131236648414654012412435740688 )x^{5} + (589125167086359364206944988248a^{2} + 22508852845830935366214416648a - 512909365085382875683819741040 )x^{4} + (-174396769226063307886029162816a^{2} + 367092934741897456345028516608a - 73938353765296766154609576928 )x^{3} + (-615264561074670273661484850640a^{2} + 90998862332790424895202280160a + 279154226287208490896430092544 )x^{2} + (-390094263556225544692830701952a^{2} - 387834769897820798042373771680a + 581077239883016927874966324224 )x + 541545007541816175865646652640a^{2} - 276892518922660021910910652440a + 75963305085731182713333962404 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary