← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (-225187500279751976312743231780a^{2} - 607642089449512357031300697580a + 438906374644577354919078548592 )x^{46} + (-89733148677757014703983616168a^{2} + 495293120259598078132210999064a - 380718115007480124359175314848 )x^{45} + (175160734051772761977079200080a^{2} + 33913456527118384893772075836a - 448531298811166928606100602944 )x^{44} + (371251450553040978342730709056a^{2} + 59658151591822942714657525904a - 171303865148157075882831806192 )x^{43} + (-407485411341799473630904941808a^{2} - 295197216162212930227888028444a + 416174982506515476191112568272 )x^{42} + (-315128125824846684202997124000a^{2} - 34331335157799216764417999040a - 522096148247855124493672169832 )x^{41} + (235656906481149240315116292304a^{2} + 86298766203791376249248534012a - 592053608002380628852856635732 )x^{40} + (127480199366803364524276443632a^{2} - 425743175511816489769441013936a - 260824782093808417646764478336 )x^{39} + (-182121156318045918850201731752a^{2} + 388258611242340263048684797400a + 226324483789215672486906737808 )x^{38} + (244371515845014734610889322728a^{2} + 177519625160194619176550739680a + 69050184202641656384410988288 )x^{37} + (66997848416963194218338893464a^{2} + 432188182141307452882226713244a + 501434369236205739451968885920 )x^{36} + (-578462241022631874315773238592a^{2} - 331721922348168877097728992528a - 17744693367037152042485930864 )x^{35} + (-434433185320880028282960853344a^{2} + 43708813940167185089459367468a - 75800847205039810433202080912 )x^{34} + (39742826994834138527486109224a^{2} + 99793107929790425744508678800a + 383697518499756138647192192 )x^{33} + (173170518748608725846703350656a^{2} + 425366316095683107936554575382a + 25535830569665946072725683904 )x^{32} + (-349228220158178811239996126288a^{2} + 26735202208448745295878600736a + 118925019737715822504779419440 )x^{31} + (617629070858798667311234065712a^{2} - 322604973264818242220037357328a - 246053619143576574435239567248 )x^{30} + (172352953469964290805269658256a^{2} - 258603408331723748959646385976a - 549145672469919652301500500480 )x^{29} + (-80229953441981918656173935428a^{2} + 247757278339205530979782668748a - 6121664922160633709927434008 )x^{28} + (125290512498685928956439666592a^{2} + 521486606725076335454064703840a + 269082674724820987241398684976 )x^{27} + (-534861761203521093139072083872a^{2} - 412998393453753714155098496672a - 37454268683821944750502814040 )x^{26} + (390348048475704755812700263600a^{2} + 367778385252954299532168468384a + 435426304883450272262727252960 )x^{25} + (-614253789346028539776466372872a^{2} - 503417772996691631148833447884a + 479557865663403195533888535404 )x^{24} + (-94079967870018856857436347632a^{2} - 474905618730940599405399937968a - 608670686762488605226391373760 )x^{23} + (-203207670947558306106557105672a^{2} + 32542866562346237514761200152a - 23173335913703071697764207504 )x^{22} + (587302896630799298727952939872a^{2} - 205663824664252232514849256496a + 497046338450931764573001446416 )x^{21} + (-604866779135853182205513409008a^{2} + 59716913797895331499586825464a - 338120370020217533498279453032 )x^{20} + (-42792388471844996006375100448a^{2} - 478618348566253145627336294272a - 480524126903004701641552270880 )x^{19} + (416279420012375395043904567352a^{2} - 186032710553087893921241974496a - 259237530834239985354816208936 )x^{18} + (-259953086585033519125660505264a^{2} + 181187520758839571882839969824a + 175648860646323500839287047760 )x^{17} + (-228011891622057108394631128720a^{2} + 26602474547395376133390277084a + 291272420468381198403297433696 )x^{16} + (-211365638200778720859072586720a^{2} - 380812830295287972749897353504a - 629251019740871475642675262272 )x^{15} + (-307010941741477014356491142472a^{2} + 546860522478249833333274302744a - 555252415640763551477693882312 )x^{14} + (-503644523216971626861944477344a^{2} + 155954555914097961598772243232a - 232212853258700667704737332624 )x^{13} + (83542255306710782149891997376a^{2} - 278509666957650478330234806288a + 225951786509332677302246753232 )x^{12} + (286986205339943020316279563616a^{2} - 472763696306987015019216113568a - 147920481687234304825134314592 )x^{11} + (-119007810156833489886791288544a^{2} + 104322809807572418455818982456a + 81867019391973999762630449488 )x^{10} + (21058151408561721370934949936a^{2} - 633325609744798354846397498336a - 37603813629781517925890392064 )x^{9} + (-242901510595024666661960615192a^{2} + 497269814639324829630962429260a + 463383280434045316203361837488 )x^{8} + (-590636655684578447614065939392a^{2} - 155075014002121297858865079744a + 313679339363895110552185422400 )x^{7} + (-148588996557537140285519784992a^{2} + 406640314446380751871831820416a - 49894618922877133295207718064 )x^{6} + (21980014625498621394044075648a^{2} + 379743377128397038067807445424a + 249631764639683160759550483824 )x^{5} + (387410767137706639276487032456a^{2} + 562675366468712900036051028776a + 488395723541107457952247369072 )x^{4} + (-210805005094974381760219801728a^{2} + 221384114472893734507052636864a - 246937171243481540629424224416 )x^{3} + (76597046175963559485883254352a^{2} - 409007833981020894442563178240a - 356134224066809438476617489216 )x^{2} + (181493984272502955389177638560a^{2} + 463535829506335182272509117376a - 9565595404006363903992734432 )x + 404820709430682241130894979040a^{2} - 622041866245441232944733610296a - 543783807134633179533548925148 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary