← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.128108_828946_873086.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((-149401420530926472464946092458a^{2} + 128710926082673096132408519234a + 167388412376724472324890215396)\mu_3 + (143929948752170730044943457683a^{2} - 314152482978373345649110873281a + 225346850990234369713569583833))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 3)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((3a\cdot \mu_3b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 1)\mu_3 + 2))c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (582159262566938588801118502952a^{2} - 198406216151106859095286706048a + 621839187300318482080248984840 )x^{47} + (573978173217223463321211192508a^{2} - 451706434059929891253515024380a + 193903020691513371775611945480 )x^{46} + (-551077862682410456108977173688a^{2} - 313423346209993480626725213464a + 483869306727329311392920930384 )x^{45} + (-298761365364966180129817025456a^{2} - 69995172730707066654118480604a + 245385476002579978631415498184 )x^{44} + (257500295654682652951190253888a^{2} + 191890781438175417848867374832a - 226554751539045880495241350384 )x^{43} + (309377869855717076832406097840a^{2} - 503282089467741505650891101596a - 185103643228211994643859586032 )x^{42} + (150243214356497728292112936312a^{2} + 511767339370746228280446349040a + 361958671138088123220624312440 )x^{41} + (187072513708138294758995668272a^{2} - 53347388741021155171405973044a - 447879140045308426831682308012 )x^{40} + (-533223400728372190098514339344a^{2} - 89461070167925640758601151312a + 30871493744726076688403389632 )x^{39} + (-312247738933997723073456716040a^{2} - 507763785663189721351792687384a + 576814244219436534880537382552 )x^{38} + (511507534211312184794409261496a^{2} - 595761997807660260819118242496a + 241651995348350047863298372320 )x^{37} + (337996930603757259810030030928a^{2} - 57008752173261829380787931380a - 125897364623812652813793768832 )x^{36} + (461367700419561361981879928672a^{2} + 545834958924597521011327976432a - 323336952465325458507388832048 )x^{35} + (514819846066350506769042905000a^{2} + 456422776414626258835584202428a - 254677036652323163676507427680 )x^{34} + (-67051067406495834645769532232a^{2} + 26145189139744009392157256144a - 351560324734894214740601542464 )x^{33} + (-411457003358217907377187852688a^{2} - 222857460579847899043729690678a + 218842109641026984675250953460 )x^{32} + (440010755913660451469734374096a^{2} + 482592913003905844694613352352a - 619045928158822214563452338128 )x^{31} + (278200149910894299972621931360a^{2} + 159128031549839554795147014752a - 272547336677963131168523249344 )x^{30} + (-205950202987512967233987548208a^{2} + 105649953133006071463298916808a - 51812213770812439180225721696 )x^{29} + (252879996894917108485413227300a^{2} + 462083121107390421644235124228a - 535303200129165447812113281512 )x^{28} + (617376801121743206933940577632a^{2} - 99136806161353730672325041312a - 558646888331172203082832808592 )x^{27} + (-317344982816931541111270882088a^{2} + 333545696157534394331101496640a + 528415839488072579814735597024 )x^{26} + (383052487097794886611153497872a^{2} + 374046639067989241666332587056a - 33178837992343634384425639392 )x^{25} + (607559558974256073674549192560a^{2} + 489368512598029133030961753900a + 536813856009022305599787403284 )x^{24} + (406831461895997182852478544208a^{2} + 461836629460278570394092064816a - 60829519244038359326886990336 )x^{23} + (-517036302394396371305301527880a^{2} - 424331583463509629689261726248a + 35645841097216906808868058640 )x^{22} + (146502519452368244961542906592a^{2} + 158901409173993703492458445008a + 71504953739702125893559465360 )x^{21} + (53320859759397798050971064912a^{2} - 114628455189742508467307878744a + 301963651569803938311089599720 )x^{20} + (-189170106242027521590293543136a^{2} - 412039089098485918834597891296a + 626937351590845588530742802720 )x^{19} + (-440680718817303350664030421992a^{2} - 207518598029608107288708204800a + 55225757145392697430255841832 )x^{18} + (632585149614300605405566188768a^{2} + 506697440872500609119688366608a + 95473083644455664546528710512 )x^{17} + (-68919314969617843003703133024a^{2} - 380212857758602148810633944900a - 594148649041185010700741537216 )x^{16} + (595224221592150799758839809952a^{2} + 455273891004097643139756373728a + 572125636660553516495793134464 )x^{15} + (107576324453701010829989229048a^{2} - 363469270236370730027009130952a + 616192151073983107806526971128 )x^{14} + (496353167739454399556059180416a^{2} + 589189563534738338942002667392a + 504409670839044628479912705200 )x^{13} + (-618789166976837334196458738656a^{2} - 460147597881289583812364181440a - 202729078138333489053223852032 )x^{12} + (234096165976668749114442348128a^{2} + 121711371106111287938959123168a - 626471391685651915698686605536 )x^{11} + (2508550507810126428925319632a^{2} + 177266882370893240596789281192a + 158139466541713601082442474912 )x^{10} + (-377207073163735211387789777296a^{2} + 2469989964666146512591081600a - 498250577857797364968701325920 )x^{9} + (626691057945219897138833838712a^{2} - 22436603763612479742765192404a - 490716402858077917588516513392 )x^{8} + (-363230206266951358015870409600a^{2} + 187683703792548994252528946432a + 511941607404794877556246763328 )x^{7} + (446549385216346334367087901984a^{2} - 257146487970540563006757017408a - 306451293088506449144239478992 )x^{6} + (344881296794072642490758092224a^{2} + 611760023062367982449918308624a + 414132924174162056508673198032 )x^{5} + (-583268856150290198302354597112a^{2} - 555003902859935916465312455912a + 214188815101292738427673867904 )x^{4} + (-314783837420444982256239958464a^{2} - 302120850628612821013522212352a + 67433869159259221228048148640 )x^{3} + (-23584213770472028748703515888a^{2} + 223217403492751082707248165568a + 553371532561263245869132835552 )x^{2} + (263141367141724701193721577760a^{2} - 276974911376832512745834462432a + 263655513833399744466974676864 )x + 392649464668352077635764417280a^{2} + 432395685856984780360521330840a + 391383899862746392565609012580 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary