← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-554059841713195350666173973536a^{2} + 489318345821290409884718942580a - 385255295857113763696802664848 )x^{46} + (-414742613201344850553246416936a^{2} + 618244304028478366549314990480a + 501498072020890220358531999976 )x^{45} + (-531709689147095530020872199896a^{2} + 21645586788519078208866819240a + 159445231507872285003848289932 )x^{44} + (337718874969115278021288692768a^{2} - 590251602171341411275349948816a - 221177884135023310230283592912 )x^{43} + (99523855392756529571811433020a^{2} - 554299891111311356646955793980a - 387903828901005321622754183076 )x^{42} + (64736164910484693346676280960a^{2} - 114296979268547712896064966008a + 197363241676968477259011259040 )x^{41} + (957933965740349037008547228a^{2} + 291715199261332613782687168028a + 331806202322943864788130259176 )x^{40} + (47757620688873600350873467920a^{2} + 600990332762681312159184110736a + 445674942615941718326102831792 )x^{39} + (222001207955916931319498547224a^{2} + 142222932015422147165577520448a + 193919976911900926343124041472 )x^{38} + (611574516192949282042600498112a^{2} - 533336362397308952574115951904a - 48930548416342097565230377168 )x^{37} + (508963325185651325827751757988a^{2} - 150537732483410377764274635004a - 327766373400463811508049327576 )x^{36} + (-481890365327768303749788682688a^{2} + 447863361265178719431525593680a + 74800939381190234351926031808 )x^{35} + (134350242684644507196571084904a^{2} + 22994459887358461457438852696a + 409992708395532221337667534760 )x^{34} + (-180116326403331247507149111512a^{2} - 231421357315297823348994078936a - 208611864038797245405194606576 )x^{33} + (532551255456331856844203642184a^{2} - 271019661841775000356183846560a - 562036638980467466300920701648 )x^{32} + (469925359407338743284884391504a^{2} - 622002501220101910822023963264a + 491548470998698452498821149856 )x^{31} + (-545840140296405516836565050776a^{2} + 523775125771541888115635226296a - 611831457344117962674055742568 )x^{30} + (-102077278452376091088692196872a^{2} - 130989059855477248957888567696a - 356860679996060670383941424784 )x^{29} + (37834953110981693435272743984a^{2} + 257206478462913588660659549272a - 625657037814126096823675138400 )x^{28} + (556858605714937197930951934400a^{2} + 442448390575000926606840277840a + 619914095968297870286361159728 )x^{27} + (-400579367554920314479980878544a^{2} - 594423542315553568323271241968a + 421027433524598134314297101880 )x^{26} + (-223825462449426708180911214144a^{2} + 488112272157229470700115698928a - 269932079630115255422936333968 )x^{25} + (565242819768257361102349515328a^{2} + 547567941220557910770137441696a - 467090590120361659297349957864 )x^{24} + (536015757338714656148776572048a^{2} + 402537201319021059052572282800a + 106603475230442297533352378496 )x^{23} + (181663207990394592272392660736a^{2} - 72275303928720574870861658616a + 78764750392811148954806245984 )x^{22} + (-503303242889557870270927024960a^{2} - 287504103823502603819225196080a + 386160314450812734058849565872 )x^{21} + (-192521217668242170966638407872a^{2} + 447645782051939369868710005360a - 456299788279414166197480757208 )x^{20} + (412740810985448047275090593760a^{2} + 78046839135190565138085630528a + 422464748935181190182724624576 )x^{19} + (-557099329012624844177282495272a^{2} - 337189882259913246333681731176a + 464025695344055702822062983208 )x^{18} + (607927769227459559564327303296a^{2} - 475145233668432848439952648112a + 32401271247025536103547237344 )x^{17} + (-147068620150475299799141542296a^{2} - 610463419936876445646839496680a + 411761074394598628738337684464 )x^{16} + (-225599131037103949835745352448a^{2} + 142180856722865922685464806944a + 80067619630568429628960031104 )x^{15} + (-501242483608770223814239486800a^{2} + 475379407586356358753666002272a + 231738921556675833310265527744 )x^{14} + (-271724905928677812488646599488a^{2} + 162136902442192433385691581664a - 324682891116688144174742616096 )x^{13} + (-221951564868114414149285565448a^{2} - 475528878697826741100515017976a - 493474410584964966933565088800 )x^{12} + (337378478532163519087749244608a^{2} + 403066714862100957140987150240a - 466613614080483315196896600736 )x^{11} + (-159360635687357885140106657072a^{2} - 279951391262411358744899958672a - 102948126437864481824999610320 )x^{10} + (360714766163411005031163871408a^{2} - 618050578651770063426142621680a + 242284746740313360061562140320 )x^{9} + (417505151040069444344815984624a^{2} + 278385557423048558544988131424a + 591390235171444763191690055968 )x^{8} + (-450297518761473533872387524448a^{2} + 507128078968727692456272366272a + 416507306580127721021786457472 )x^{7} + (-473500100531605663774926595520a^{2} + 298505924199027013553800212384a - 52985983988373141846563953504 )x^{6} + (-16126860896326005960720913968a^{2} - 426643744875794141032144887680a + 176196260373851655149444509760 )x^{5} + (104050504641798113788919847872a^{2} - 223260331311435426877005604848a + 358781744246973834607253172544 )x^{4} + (-356741131809801653222893411904a^{2} + 175009835862128790669972301856a - 556334047530898889721639381344 )x^{3} + (43087808550495802947078725696a^{2} + 490245398325467747188944480576a + 66402746384395817542156058064 )x^{2} + (-494971174119234860564329993088a^{2} + 100121794272103286345768078048a + 385933862850977261031934368096 )x + 7014855389826428031841942096a^{2} + 362908422592252044210690199152a - 497016346164289077010754794340 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary