← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (120615427011909927698390810384a^{2} + 526064903919091778227762990980a - 187460223859871769144701292624 )x^{46} + (-96054886512129169108334150312a^{2} - 236583758203754153574713761168a - 279341846577289464009041487096 )x^{45} + (604314877020293881959909141880a^{2} - 268638755864689306066797181312a - 33668022557474750015013724116 )x^{44} + (-116011582295989531134116275936a^{2} - 14152999555278834623084966000a - 344049934555019868117680914624 )x^{43} + (83726335628003102478841301540a^{2} - 365260355902141908130634408764a + 199238910159277899145441102212 )x^{42} + (446499986780994955465292868024a^{2} + 216968062894645893060703797272a + 526318328333636180331368152680 )x^{41} + (-222683349926383025311338599700a^{2} + 233637805110848962182925890044a - 611445563124332106282643392920 )x^{40} + (195737192554089021811338016272a^{2} + 479357425099324730435041651728a - 557821756966266568097012341680 )x^{39} + (-314033184460907959971866671720a^{2} + 448735283569070589999192061264a + 27303170806655710186402900496 )x^{38} + (-473968806071496423496355246688a^{2} + 486082286662692709286716702432a - 575332536457926325821127684016 )x^{37} + (-469661541836155011794622207924a^{2} + 563268856825558866385900732028a - 140863008304631522770524929808 )x^{36} + (357487139758707823496160311856a^{2} - 627703996802387881209318833712a - 156856323953208437557286108384 )x^{35} + (103504405327450784301046125584a^{2} + 141250740861347311925724330128a + 347031855714667447397980073392 )x^{34} + (479671464955973256202033647176a^{2} + 414895300077969574458889894296a + 144251647749302965249575843136 )x^{33} + (530498377486939712318094403736a^{2} - 199817897995336393535920311976a - 461540110021104877859429181616 )x^{32} + (-494483837340822321385960101168a^{2} + 213627910061812291059963915200a - 378016537026973115496309610336 )x^{31} + (606916945276081009294293218312a^{2} + 228721905019551879267306835992a - 40329660756080660836441044328 )x^{30} + (-66510810761813457613508654120a^{2} + 103119219704313923528592839344a + 375997781787272796285129618480 )x^{29} + (-475070847033508853374389820848a^{2} - 207175121676590539723067266504a + 239404067896858306521582292064 )x^{28} + (-141106356785078780169079945568a^{2} + 621536505407476033075741943504a + 336367457162046767399625993296 )x^{27} + (452536005220960485179823271360a^{2} - 563284536906589469726916445936a - 427665509181422475365005174872 )x^{26} + (523286737293393294361377237952a^{2} - 319092587744738884458657180144a - 310183464178665560392868090288 )x^{25} + (404900003870498017857848346352a^{2} - 210983469953039173986138607824a - 396564194251658538661111195072 )x^{24} + (392105069026276698005158761456a^{2} - 432188310850839202626363232944a - 453628109803573724670172457696 )x^{23} + (-261882695251607914770646465584a^{2} + 453667131224140913888976254664a - 169729171665060753960631680896 )x^{22} + (618667508637459992131601222144a^{2} + 122159964152284983456158176176a + 51687369262987752278989115856 )x^{21} + (112894462916282825480918955840a^{2} + 523083559177997571512938133936a - 459155234582703461401406056120 )x^{20} + (577333584704306350750924509600a^{2} - 15836987530734473926878694400a - 26355405452029433797215351712 )x^{19} + (-429051935756213598246612254136a^{2} - 145305519895172308489121866728a - 247749393561310063105011458296 )x^{18} + (375270391062440404433928951856a^{2} + 415268799826937544929740701936a - 239193700631236389506914428304 )x^{17} + (389119987391296062105498462008a^{2} + 296291411377154303873701912744a + 463627825452042283267718871904 )x^{16} + (206590634637721807325733179392a^{2} + 404730912091601094656061400992a - 463345716621468639404618801344 )x^{15} + (-106647674272608644699685755696a^{2} + 360994759142493244740926627712a - 257341049985560405468312173056 )x^{14} + (-190628290532971635198969085952a^{2} - 371526860900183948139699359008a + 511906166168995601102113107040 )x^{13} + (-587960106106569467736610451000a^{2} + 24333908081546822401696044568a + 378891537375096176752134109648 )x^{12} + (-459976863138763030509178311264a^{2} - 604358870808653979801657664608a - 253105545526734081993577912288 )x^{11} + (-356476466647046259430660651328a^{2} + 22681547494724120374026343648a + 469945007461970704008794652448 )x^{10} + (26229482443998962373202451472a^{2} + 62946696025044393743310367536a - 489673008673554182432811900576 )x^{9} + (-363229090181640676490637903728a^{2} - 499638836868717867350161871376a + 275455796485204905119534134528 )x^{8} + (-107869589191194202485464034784a^{2} + 505822982287488270773223221120a + 204723024585738389581525302720 )x^{7} + (-401414932979218879798570311744a^{2} + 239646217979521885280647895776a + 190198590903084594618540958016 )x^{6} + (433238031688129585969341419728a^{2} - 379564100113180494707699637152a + 299709449595130962142577381024 )x^{5} + (-359079872295938465176984639872a^{2} - 251919919258818204320298651120a - 425713473753080663242470267008 )x^{4} + (-11313657069514983059259799552a^{2} + 214534461662065320324462724896a - 172934939870081829342045789856 )x^{3} + (-321593713077453521313115424864a^{2} + 591095970597225953228701970016a - 297116343813815835070846182736 )x^{2} + (-350519813264032384758349658496a^{2} - 166176625147623391978105345888a - 249601332281346453473039036576 )x - 418371530349690839026121864384a^{2} + 130813349583415151794709218688a + 626782519627770700101691749132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary