← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-43724132886997909841494316832a^{2} + 50976808197869815128249910212a + 548813668576123607509633838128 )x^{46} + (-395252089879424705015785805736a^{2} - 431773878925045713009757036656a - 429934812194733882029893505656 )x^{45} + (511525060980693157214797097368a^{2} - 48434040083037782829008401576a - 208449476778911945135571237188 )x^{44} + (-34910156703366451740292443632a^{2} + 560844348973081892053915263536a - 353937948247255730891820718768 )x^{43} + (-323287645713378831580554418956a^{2} + 130574773820287269713965650324a + 93312558058564539893875799412 )x^{42} + (-414940861441852227512261585200a^{2} - 305382696334215824853642692888a - 62284073102168627085734233736 )x^{41} + (-523409076800774423495105413748a^{2} - 80143370254091229868602538404a + 210574340307984547121392941328 )x^{40} + (-364863225485087197723227483856a^{2} - 244570073853208434385468559344a - 553619685245097859792909063344 )x^{39} + (602950534565189247873019472376a^{2} + 246848098278161067168913879088a - 450338901956330388453256115424 )x^{38} + (-546016178927248292826622547968a^{2} + 596297946498451052051232860992a + 192717029065638856709407258672 )x^{37} + (44004199148970850825329796836a^{2} - 403008667809017525052600379932a + 256011113690030602145325953360 )x^{36} + (77586184445033447139211447856a^{2} - 173830616612277338153459666080a - 548821041062751910310296511616 )x^{35} + (-251959756417134587284227124560a^{2} - 334017403422524731712768881928a - 65433783050466621815901102912 )x^{34} + (530093182461634945166826716872a^{2} - 201079674025254706293604074168a - 352137617841788676445940845040 )x^{33} + (-225244469931352889368212065560a^{2} + 121331729207303040907994697464a + 334137868725318605736564810224 )x^{32} + (-568720115201097845999750488880a^{2} - 317533010213859821879248988864a + 188656659947399528437154407712 )x^{31} + (-424370097856599112616869368792a^{2} + 487097381788512437657094189816a - 580764346976979724676739088488 )x^{30} + (-330240862951879846605308724776a^{2} + 376074911443818403170255585328a - 454698569792493896097500566800 )x^{29} + (-349304193599118417032385735520a^{2} + 472461665033512699687392091512a + 598152186707195561309305239712 )x^{28} + (-546118556025526835347865044608a^{2} + 242516889382930167474603027504a + 22727425643969911723559785648 )x^{27} + (233214040906268295730807984720a^{2} + 132944615788249286634773290368a - 184245175836411208165701095144 )x^{26} + (586523706021767882179452452416a^{2} + 507050982512368524270110970992a + 554259340369009625064906099856 )x^{25} + (-548372637758312589067217655296a^{2} + 269727070287861057711110648752a - 48950104769081968416202779520 )x^{24} + (242594216722602241770947444496a^{2} - 337372108351544462208042533136a - 328656462933402599001706692192 )x^{23} + (628656887630559225502750631376a^{2} - 115148623995132810484156429704a - 619538484422386602949257193760 )x^{22} + (193450046532752271947754506688a^{2} - 556177164157642843471615293936a - 305112518800086508113588835088 )x^{21} + (-564959054463995694966804169568a^{2} - 292438914139382580853071515520a + 1216876656043843377899142840 )x^{20} + (298809788406563424277194087936a^{2} + 478473012240046157834262082880a + 259004467652903239761946936320 )x^{19} + (289941436773815148061070140072a^{2} - 227222515152855181725554892648a + 128627600448202219814141046376 )x^{18} + (130808130034400587987903945824a^{2} - 40073234969183144537474564368a - 225501398246530805204197137648 )x^{17} + (-470526224974012702088267021112a^{2} + 130811908629272271306198144216a + 334178320233231814825304487152 )x^{16} + (-363327390283169576319722451072a^{2} - 373266762108128864484376941856a - 21743031712973501720941919872 )x^{15} + (-594697403427768349897249816656a^{2} + 575071153930732845985406195008a + 606939695909497199290579267456 )x^{14} + (-597157964513738549082524800384a^{2} - 240788095458980925719374889312a + 371495617149349855159459513504 )x^{13} + (-3305664947239588417437143784a^{2} + 489999542753940488256059234024a - 158411117085723244679756226096 )x^{12} + (-136835237766286184852534636064a^{2} + 551465691627639422755617271744a + 548785164647383484097738111840 )x^{11} + (511604848269857843831069166848a^{2} + 471791352032674960267652282416a + 466693085236238753732394725984 )x^{10} + (-509089211913337665519918647088a^{2} - 45353178856092481568490077808a - 172206869484577645177403970624 )x^{9} + (-15843441500646596314314375600a^{2} - 351894380223746334427084004752a - 373672229549672821985756752224 )x^{8} + (556562128490040968834202864992a^{2} + 508726865673384839174994294528a - 626078157328646965715813753024 )x^{7} + (-395762599115335465186152382272a^{2} - 335034369331785346543131937824a + 557621553246815226016667995840 )x^{6} + (469968630568184351108934251952a^{2} + 485520953625060900813207965920a - 350972054900005525343907355936 )x^{5} + (537645229719236052468851600160a^{2} - 47054987391378895754963979056a + 599938598773561607404932126528 )x^{4} + (618787970462393303256960424256a^{2} + 167463982990839323278212051296a + 185842653971172594092433298976 )x^{3} + (334644794784064218044865310144a^{2} - 266446583613528013551396016320a - 321919813385349538296606548944 )x^{2} + (241352169622218378315410073984a^{2} + 288119230633660578652739788384a - 222721599923060577141924297440 )x + 464992278357701289287613006976a^{2} + 157829369038231301761552112480a - 332327790856947756260478950516 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary