← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-29621725533706428653364278160a^{2} + 203461483473788449794929307956a + 260228049646673550248193211152 )x^{46} + (-17750069074511878841195676520a^{2} + 351244972277174136654363902000a - 160525266333787686799839750360 )x^{45} + (-547207230808598895861510276696a^{2} - 412814076692258539583251341312a + 560956815658314260968325412108 )x^{44} + (-356912546241053492144608583856a^{2} + 74237060640826506487970978832a - 335141694324762626531096145248 )x^{43} + (-451968043279914930225046511284a^{2} - 271598653498010459207601130428a - 349329119328382859492516821492 )x^{42} + (123861286648886039054132712072a^{2} + 77988413948328069935833236904a - 282214686700466876714800356848 )x^{41} + (485954042142236374018666417340a^{2} - 466486054403624185943080759204a - 160244165606787129450143509520 )x^{40} + (-242029551857534106867154928848a^{2} + 19323779779519165390308741072a - 95275737096125294691062913744 )x^{39} + (-212139144491170036413315658280a^{2} - 97328057811519651372813904736a + 265308810419559944003650238032 )x^{38} + (-178103972821688302476463954848a^{2} + 308403736611887426807544834112a - 125339469668283729506733673520 )x^{37} + (-107073696381059527213346483828a^{2} - 122559366689245311873518330244a - 311505416603467521573584776392 )x^{36} + (468125890432107092047193222048a^{2} - 424254028194238921234150754848a + 531453283157097602881042062240 )x^{35} + (388999063638313987172581824136a^{2} + 170701526422081422278425528160a - 471035651640034829093738375144 )x^{34} + (169167900028709684607229925992a^{2} - 446611019799387658410927031016a - 220131839568058664006462113472 )x^{33} + (-304237019860520758946681293896a^{2} + 625515799881106373048872357680a - 245169166248745341002116621184 )x^{32} + (-508022920675592764486256578864a^{2} - 115470384053207181574354255104a + 56624984273388327342999056032 )x^{31} + (564300722176522950320581711112a^{2} - 147988156854394223797022777448a - 112784631222181739413263573352 )x^{30} + (66835609500886508548496469624a^{2} - 269972511866873455475129507344a - 226763114314775595884246806992 )x^{29} + (-519557770507143229492714241440a^{2} + 348702022273925246843268235864a + 40219457831867761314057665440 )x^{28} + (395121614135862449044289529312a^{2} - 577248550479910645367561205712a - 41616188208594556809796902192 )x^{27} + (277259787319647709859342689824a^{2} - 547980687161655355807899888864a + 324100628289068074558712772136 )x^{26} + (275218473150531243665688923200a^{2} + 83409832778374850305760773968a - 50219903273108116337362951120 )x^{25} + (-416432010350637237629766166528a^{2} - 171359719047816924392225582816a + 313710058885151953028407904680 )x^{24} + (355936719221794177330710695472a^{2} + 308709018907124110938615300816a - 253652804739616886219933637184 )x^{23} + (408279382155737549092981305440a^{2} + 197959723512488239798245969880a - 242971966268203217728792617568 )x^{22} + (-330373071720111845172620267648a^{2} + 128465321820104987374606418864a + 606718984564070403220848272912 )x^{21} + (71216489111459980847402623264a^{2} + 402659651440023867059093426656a - 88229216123269895924533206472 )x^{20} + (37179134151523300593764858176a^{2} + 165972619507985719088642918272a + 426114818531816699603814524448 )x^{19} + (610554789239267261174026232184a^{2} + 532215328568311036356481933176a + 209990286338289454245946226760 )x^{18} + (-179602981394549698305963423376a^{2} - 122651739193990002084682528240a - 242268331044305409906870455296 )x^{17} + (16457785551300803931353302712a^{2} + 204461007022298091660347228840a + 142828739981903365392093780896 )x^{16} + (497972303697483222040368271744a^{2} - 362332582767466712019777278880a - 174594376432501361313329249344 )x^{15} + (-147416083857523906500124387824a^{2} + 212932928752724785570374571424a + 35420463612458242393159722368 )x^{14} + (-146658122319062424415661833536a^{2} + 353109337309045514441618479008a + 5909923645285233610497456800 )x^{13} + (259338262280242708786927379112a^{2} + 198320168435626509969989100728a + 577359226373961260063241453056 )x^{12} + (277105160487690610674100559040a^{2} + 279382742003807541321123310912a + 111672746593702193089661759008 )x^{11} + (-587574926145914966952769499248a^{2} + 521516312491046909539576836832a + 230920054334011597429839804624 )x^{10} + (-412806125011203970092309968592a^{2} - 356191498788639621375878489552a + 99228105342448957332829659520 )x^{9} + (88177264851683596834895122992a^{2} - 254049911545309766810655476960a - 240260368653080423298229650976 )x^{8} + (297818407820997078455526869344a^{2} - 495530110764448096200232474944a - 113191689246757364199687887488 )x^{7} + (-568993618267209199864438760256a^{2} + 370396765777212445657455967008a - 82877754001547029559664570336 )x^{6} + (553660913449302941211112809840a^{2} - 60174510768705276556289868672a - 277981005023283255584109869888 )x^{5} + (338072284125354429025391882592a^{2} - 263788941752321765245507764336a + 244378815644693908827458525568 )x^{4} + (-471792452745319560784514558592a^{2} - 624760009457510202079859422624a - 49719375257765117442415610656 )x^{3} + (-122866035852988355658664221600a^{2} + 43922570700096403331487649824a + 331858381154736766764598079312 )x^{2} + (293508457147476722067750073344a^{2} - 588802637616313429336735043296a + 512969407414368243411757805088 )x + 33924564086327728290532132848a^{2} + 93260024992218642699517175312a - 268352312917470489262243045956 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary