← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-600818898444089016577442892720a^{2} + 182208206472071762587621237140a - 566670164343905798902599910464 )x^{46} + (344033600720289831155205758136a^{2} + 237171372752929243421290453488a + 82052526441173309941451132424 )x^{45} + (326205513013290686028842396688a^{2} - 149911494276819204198483402856a - 144732720335431087230648340492 )x^{44} + (-567839348330934351984792945872a^{2} - 112186717487229287794128043344a + 462276748394436902388473823296 )x^{43} + (-411387519905189091396649709892a^{2} + 247338570258582542353585028852a + 50781743161842544692934781236 )x^{42} + (-237684774129310346854652666848a^{2} - 357164025405000736973365356816a - 509642129129846557053344851592 )x^{41} + (-76531458815621311462213204476a^{2} + 168876055983984608820130625292a + 401451436375696919977391914432 )x^{40} + (-288675011130378823305891725872a^{2} - 36747256342663397227533911728a + 516359358997637453961225981136 )x^{39} + (-452440723989175703936711072200a^{2} - 127507977088948559370297535232a - 281228341825885978064042446736 )x^{38} + (598807951690889826017541489920a^{2} - 486766695563329646630759722496a - 51916531890331263297030452592 )x^{37} + (81455643109364140373526499628a^{2} - 163401322931516736393108044732a + 265829596876829699063968329856 )x^{36} + (-155887444865255002533802017952a^{2} + 561984320484865465736814170304a + 17348664806868331784174066368 )x^{35} + (-18859709424776397704742681840a^{2} - 316098864296156336105662221704a - 170617958106043044305967320728 )x^{34} + (599405547013524939477160120072a^{2} + 13538302772447797417388451240a - 524019456810058276273691226368 )x^{33} + (-497465694512861316538495841488a^{2} + 579843228759002500592381497472a - 268360937586424119419138877200 )x^{32} + (-119805058899949305066219778224a^{2} - 633519254436923721999220127104a + 204451513600855966255563057568 )x^{31} + (-551399029653878980134742257208a^{2} - 334742529018886722254120559720a + 617029140463981414651200293144 )x^{30} + (146996155593380807606624632888a^{2} - 15120857683359167452190212816a - 35606595271690741451130331504 )x^{29} + (615470398597976623035765966384a^{2} - 221863628869048272250852040888a - 17079607978029883060456255136 )x^{28} + (235388372148960061398013990752a^{2} - 305396587932829314544470964304a + 521722263506174276425647572944 )x^{27} + (586707027313645284793017162912a^{2} + 631428584820749917328822874208a + 447082939086257277741196362216 )x^{26} + (578270114960456417171970588064a^{2} - 578945161136169060604552357296a + 178796681289441194259580083600 )x^{25} + (544418709683598472026841835336a^{2} - 167974564363779412340438187912a - 423177048711581602537465479776 )x^{24} + (-442148925891959299582817877648a^{2} - 568872261105887707719389488144a + 523605590536037409260851206944 )x^{23} + (-299720730695280133449778551456a^{2} + 523453877860456500309165207928a - 360699648196444802979923904048 )x^{22} + (599223258335720650403484790240a^{2} - 522141244319550192545253343280a + 225349425538743064731195495952 )x^{21} + (-49136516490503362313726068544a^{2} - 196862424630600508035934401136a + 57355692613115450184675529336 )x^{20} + (-515322717366641416585960378944a^{2} + 185534894779010281412755552640a - 130752920695447348320388851616 )x^{19} + (250019750812455490848940323464a^{2} + 278117603588883576719121272024a - 387948147549448301116899631464 )x^{18} + (546097736514637896625133143136a^{2} + 163545987446513341531621679840a - 533226506433494771103745910384 )x^{17} + (341529880898781140091693115112a^{2} - 305782847626424148212422397160a - 200251083602753974456409051696 )x^{16} + (295497227117280049175618767808a^{2} - 321990579350229854369738442400a + 486612319710296497650881472768 )x^{15} + (303420192706274866321219631120a^{2} + 543144730075207089407188937312a + 609715703258291206280235956384 )x^{14} + (-576171464686936601149498032384a^{2} + 362096088881269463910037209376a + 329080867824357439990449852064 )x^{13} + (598049740609024618399087850568a^{2} - 538666832134266050079325144488a + 532622867297858496299895751872 )x^{12} + (223715904475248853066765495552a^{2} + 84121718354583979992901017792a - 348884344010378312688640187424 )x^{11} + (160789492752396249300522255008a^{2} + 49790395840466906710925791344a + 369525421387209611610276752304 )x^{10} + (325642330235562926334617274480a^{2} + 104846463123388832998236060016a + 604365494745212508542527228288 )x^{9} + (437375590752154881659309870240a^{2} - 393244420820943894414569187968a - 153536261152165553327499659392 )x^{8} + (398645009524845515695968161632a^{2} - 170739867568266164492557051904a - 493814524935259478760860424832 )x^{7} + (561622490900633588703022072352a^{2} - 573425289276653526422740467168a + 564884565096947702414406654432 )x^{6} + (198844145209577510992046889968a^{2} + 308562607117868422296264338976a + 73691934225815761965841823360 )x^{5} + (496489865384412456552326780096a^{2} + 528446661979873612261539421808a + 154831459418534650705089717920 )x^{4} + (-598571888122982950496680680128a^{2} + 596640601068517426482699412576a - 88272732126318085739770143776 )x^{3} + (-514232099790131451957339961856a^{2} + 564606215011412982875596389472a - 58783274510120679357926624464 )x^{2} + (-245570549982835479322961782464a^{2} - 174657382418718972757343323936a + 321111860516803326321739435872 )x + 23247182007067399998507244608a^{2} - 582387465440907458855280958320a - 433818973571324783004060502132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary