← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-567881405646160967955888463712a^{2} - 68271880963494885507997929276a - 115132864150729406122604663328 )x^{46} + (-49799203243261565294169584776a^{2} + 326561896854595080523531761168a - 11179777731285571162592835928 )x^{45} + (6863513864835394499422350960a^{2} + 333225944881745512215458577840a - 91588551753962878103862496636 )x^{44} + (466994921136292186407003056048a^{2} + 286174082040061191796930356240a - 574547081084333727387257901648 )x^{43} + (419139033235273551394222144180a^{2} + 61669466648564890499913129972a - 528342468738751551862249425284 )x^{42} + (9554597554381684038788870520a^{2} + 100452071993357849056002859824a - 327314335217841184197885069984 )x^{41} + (-603000382002316005452496025260a^{2} - 101151591613122757709523675156a - 110672618990448860827702914480 )x^{40} + (20666879578890152151425766864a^{2} + 385314584059030041780540274640a - 120630524061842420214330189008 )x^{39} + (-320266482392999870207375543560a^{2} + 511182224921818824450893223088a + 350729391003919089923996528896 )x^{38} + (-481780722226849708461765683488a^{2} - 240231712077718336240725580288a + 97678375371940753260721218032 )x^{37} + (455762330918470755338586220068a^{2} + 345736727433221814268723073372a - 301376151234123079534957925352 )x^{36} + (457469221341280210828068253872a^{2} - 283909756593459227882441958112a - 60572529846958653275896407904 )x^{35} + (-619249501453960991160338943400a^{2} - 565445206786695428382678052416a + 572132745179975919706258858464 )x^{34} + (-611997251743993298366176481240a^{2} + 232144022004603007348722611384a + 630126051109966341498905012208 )x^{33} + (-338932319125126339623415159984a^{2} + 466765809866555471048718748296a - 196326083644345997366245312352 )x^{32} + (-8727631907392539843087124656a^{2} + 317442406314469875872556836288a - 375539251940832331819323037920 )x^{31} + (61608174883876271070290390824a^{2} + 430247987787253469255433872504a + 114530365811397677404264375064 )x^{30} + (-326863155612838476932418394600a^{2} - 434827156631750936493595584400a - 222997774697151187880912661936 )x^{29} + (213860265600754044780826556912a^{2} - 88965119983110777764691920632a + 169369365351907809058509728672 )x^{28} + (476570297212104259632359111040a^{2} - 194702092398042308311604734800a - 475605216542227647600800256720 )x^{27} + (138576314477256524728486959280a^{2} + 128758558041787550327064619168a + 560378867800340802044359124728 )x^{26} + (-323470556723852998333722034016a^{2} - 534206470609311263714717980944a - 255667338221104814577902747600 )x^{25} + (280333371514107704129735789080a^{2} + 326056772204607093702643804424a + 297484794345245920205428916568 )x^{24} + (-303050364609471662624447134640a^{2} + 212537724037106908000391453328a - 382159926184256664644893052864 )x^{23} + (-122424600045339866386866129392a^{2} + 586123480926723133988740804664a + 544459874256607341537080132688 )x^{22} + (205892744970707372548154723232a^{2} - 373922694222186234157096026768a - 518931974708499412439856656656 )x^{21} + (306259772946449223056168901376a^{2} - 198173645535627042786481594160a - 217957216593867138491284804616 )x^{20} + (-521278802229722271844226119488a^{2} + 18147371083492340889990538560a - 352039013331075701301216591232 )x^{19} + (534422235392175870839091242936a^{2} - 317109408220305771255234440808a - 146781694215401226781463935144 )x^{18} + (94421577486273284832018323440a^{2} + 560581015174970568030385197920a - 130742861988349044017231187232 )x^{17} + (549226495357507822083020072632a^{2} - 309007615625734084561270547416a + 539219902768676934429140731200 )x^{16} + (-401698987302875172654836715456a^{2} - 604183216290224913220896482208a - 49796823842182345011046141632 )x^{15} + (-222252836972480541158943716496a^{2} + 606143835837982323149974946112a + 479559553759609599025321502752 )x^{14} + (-201688608884936444676394226752a^{2} - 184451277076360139581257936864a + 470013616885815750515675466272 )x^{13} + (-13690596914076340438259498824a^{2} - 14478025870781605045913201912a - 427466279202926501790231716720 )x^{12} + (7346808363560769194423228576a^{2} - 573901256731881589162249862592a - 50985824193399373829433738592 )x^{11} + (-108086593688672249269056435248a^{2} + 381180504593927431357683636320a + 214194426212464386069392651328 )x^{10} + (-191865658543307342947188712304a^{2} + 490771066910410501174460895952a - 336332108046208037000831808192 )x^{9} + (-584865231512389423570749949472a^{2} - 153166409760760117216994031696a + 267232741341789396161738416320 )x^{8} + (-47381333105586205117754541344a^{2} + 382073864272889650718731358144a - 257616821196847792484788363072 )x^{7} + (-431589006608881204907431948512a^{2} + 59638334425014011398024916256a - 460563026368952072311277499904 )x^{6} + (233766390629258249888662171504a^{2} - 167574572763001109130210534656a + 34588168598311842455350622624 )x^{5} + (416267657482499030332245631232a^{2} - 233483577031523136580626147856a + 20932833605647639036808436448 )x^{4} + (-226672941409606311794759672960a^{2} - 236023098223189376062773440672a + 370359115066472818275884896160 )x^{3} + (-226077733508716363965913168672a^{2} + 9384934950414702320813584768a - 196825992094789670646911123632 )x^{2} + (-407076450543907829553801183808a^{2} + 183695886927932260013152898720a - 26093703941888656281973853856 )x - 557997702612904822928965537488a^{2} - 552867714340826062246040274240a - 207926870376294622778726547492 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary