← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (341100507650593397368410068656a^{2} - 215073311121385020911490897660a + 306915336044595123147347990240 )x^{46} + (494564833335005352303604853880a^{2} - 404813841403134378322385823824a - 440370946248629622812226147032 )x^{45} + (-568606736982977722576513398768a^{2} + 178824578323997749665872142744a + 396232254183961722466950636804 )x^{44} + (-341732088018198402745511730880a^{2} + 248079595072947455321875576560a + 162443852017979164373481681056 )x^{43} + (208572745967088201947518609908a^{2} + 562868778200289580209300060964a + 12107048418767939206715826924 )x^{42} + (430695689466141823974428451648a^{2} + 142299064903597327248417520672a + 450247883344593234820589817408 )x^{41} + (334452935370353679844888690308a^{2} - 452973264036785555494717749524a - 318648741208701669062363318808 )x^{40} + (-563904288649494429397082558544a^{2} + 83328737529313147966339432848a + 154914314252029733280403422896 )x^{39} + (445909396014578813434090168120a^{2} + 322595401440663002335160765648a - 287311856176702069737137175792 )x^{38} + (133173301745695469805383280576a^{2} - 470645625881138026628685294432a + 170714555978764889262055028624 )x^{37} + (203629778616847669296317297900a^{2} + 358084947145099740867561709828a + 207986617643458081354259570920 )x^{36} + (-235095057983399709181786610832a^{2} + 68188739481694715938754926352a + 520176211985532689466455927584 )x^{35} + (-503230994738348683410691912904a^{2} + 416325383127414673518348915496a - 33058706321937137786150202192 )x^{34} + (-511474564817571772146284317848a^{2} - 194688873842742422939273485048a - 531173722441539474220697868288 )x^{33} + (-582789424410020424821339291792a^{2} + 347458164748304476351241151960a + 50089358651494837478405213696 )x^{32} + (21260131698879064032983982928a^{2} - 566346946002726702132504879168a - 423388013988186191076437160160 )x^{31} + (15277527522596532775610984136a^{2} - 375584316928983660621099964456a + 121474555792610277651149035416 )x^{30} + (-355950270479865372387678021800a^{2} - 54346043394790091260098165136a - 199470346477735120182023915440 )x^{29} + (-354500559052839785707257688960a^{2} - 288750569396929357106560988024a + 481336283453628637714479139904 )x^{28} + (-241521403967400107378661728352a^{2} + 231589496794243609321023657680a + 407226940019877213907506090704 )x^{27} + (586217884131870865598135411008a^{2} + 300855667541934205977077681744a - 135122848750324325201849316024 )x^{26} + (-456267027805115371049135122528a^{2} - 583200083802701646358791403184a - 633385148415029489032337624784 )x^{25} + (-524874968828991049580796903192a^{2} - 620504229521364331555483894808a + 130818396352391212795514914920 )x^{24} + (-125835957486084042718237757200a^{2} + 257349956325160288333090392624a + 285317354272048014866769490560 )x^{23} + (-45953450732645529106073327952a^{2} - 160933498571129831373115986072a + 338324960852504387681818148592 )x^{22} + (-511409380163684566752899390816a^{2} + 105473477329515835950695289616a + 133710439941207738783597530256 )x^{21} + (485217214278415698260638750240a^{2} - 460336822208139607461292815744a - 246243335916103338071797058104 )x^{20} + (161761913716953762879554569248a^{2} - 60402784801663997922447841728a + 195848143742839339988473714592 )x^{19} + (-12493401785229631580008970376a^{2} + 549807807031042367779529283864a - 136791187756601519122075114568 )x^{18} + (-21641605874297163032312785376a^{2} + 247010061482777752218049053792a + 126057950402574565399285424128 )x^{17} + (156071610084127956332359118760a^{2} - 169160364598539576840314600a + 388986105062226093091502435760 )x^{16} + (161062637279709032876959548096a^{2} + 537446591390545530630443911840a + 104378478745573122223370989696 )x^{15} + (279574004049276030602871704784a^{2} + 337617374321242579728994677504a + 221687909394101417488836738336 )x^{14} + (108894146835046159025307617984a^{2} + 205173321672888485083765534688a - 496498288640273931454530255392 )x^{13} + (401700106305363170164808415912a^{2} + 18811467580220420193742109816a + 505837139873212624439846999952 )x^{12} + (357724020776886874357806888288a^{2} - 152497489615471041371522306144a + 370368222766233944143830394336 )x^{11} + (-41502737441521443651088430544a^{2} - 302372051853498470895183396848a - 489567041037508287144116107040 )x^{10} + (-140818241195557764979993520432a^{2} + 499810510708847300300822501872a + 419528569074274179936833275104 )x^{9} + (-575773170348434122175228896160a^{2} - 188653267402321220159763343152a - 479013106978079496396694389728 )x^{8} + (-276439233542910428421288868704a^{2} - 590565597932462215214307315520a - 594075662530960116030805888576 )x^{7} + (41849277358527485684791368992a^{2} - 620761196403440542533774650336a + 554694612591908180848399999360 )x^{6} + (401914865421657561426059211600a^{2} - 5591134519174033042508411968a - 309008839395827611319750016864 )x^{5} + (-442253546546184981193415260448a^{2} + 277982940221152077622579276720a - 138312466256203620346185150688 )x^{4} + (-79945613356202384161922352704a^{2} - 187959606190613850502840347488a - 120665594739827827955681125408 )x^{3} + (538749964027729969050693644736a^{2} - 116375746582488842631715160096a - 362212750124491717026670531824 )x^{2} + (-589113821385740087020760001088a^{2} - 227730252471218533687280342816a + 322910759708513289259193332000 )x - 612202972329146900867117192144a^{2} + 209011770344695393852589664096a - 3180085246409213165334620676 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary