← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (144073805044075259376490894632a^{2} - 200243762655263772576953930088a - 625792399018326744913497608224 )x^{47} + (-394704660747004116013525953376a^{2} - 547147171455554503858914161836a + 191670700133305594534191374240 )x^{46} + (311427125684311618922287187192a^{2} + 243405293449933101000472980496a + 394166128802514736048474715848 )x^{45} + (-620562314301170512449935777680a^{2} - 277575273023276626126056226368a - 568973996038837204514847840956 )x^{44} + (495667330453373268803657339072a^{2} - 385089351116943044974762175152a - 241964197463566900213740892016 )x^{43} + (-437843860102366854437307917380a^{2} - 356854793697642999771696305452a + 311355506666273286116674003492 )x^{42} + (465126712040153209071037429464a^{2} - 618406568092266930915059845968a + 614740783473935729842328016920 )x^{41} + (-249159593817429620382403569292a^{2} + 14868250670046461806777466828a - 285683665826323646907060105256 )x^{40} + (-211319694509125208617584257872a^{2} + 441142567640007211784741226448a + 190776438217456343132309974864 )x^{39} + (471912685802828730729323458776a^{2} - 493024966276587924344227594144a - 92819431542868603796981607488 )x^{38} + (-298639858171277221395498594144a^{2} + 543791892746331142321064026272a - 567442662757402375596300004368 )x^{37} + (-484463634043393330231312815324a^{2} + 125827358985582602289571400764a + 544715901409597190356847453408 )x^{36} + (28309090076667321448417075840a^{2} - 335855924524282986995973693584a - 289412673558720828859468133440 )x^{35} + (-33980018531757783833490934160a^{2} - 199543720824041283700505212256a - 488383473055135292077539591048 )x^{34} + (585158937005148902359564273160a^{2} - 383820100859284881131197739400a + 164999935532937597652692225904 )x^{33} + (425977576778581281096213587728a^{2} + 265132894526362344152811575424a - 426859006816991803633896914080 )x^{32} + (53926088559271246316111999184a^{2} + 621518965960627595894165390208a - 258542931276467701522616284384 )x^{31} + (-281437944106282858995858598680a^{2} + 559366230426122624160372045304a + 384435741023324145630084953752 )x^{30} + (298718502325120453218341987704a^{2} - 278210654877871141851379121744a + 532927361896601418099256061072 )x^{29} + (-455309161710946070988608408416a^{2} - 481787428598319171553880341624a - 446964369573332501932800133120 )x^{28} + (-537525529675519539341561542976a^{2} - 312374908175845505464439312944a + 315566335069605774630696489264 )x^{27} + (305064745539761530335383343824a^{2} + 604944582750559780877238109104a + 399290409226083204873168001720 )x^{26} + (-144072715477362584803251409760a^{2} - 547017394487535134850498324688a + 156709254293019390220309612944 )x^{25} + (-228349854005058273517772201912a^{2} - 403791073739390256097810846440a + 433055914264441233089359237280 )x^{24} + (-307624384105642889768248237424a^{2} + 368995624762491762864827877264a - 117678848128656361628371088608 )x^{23} + (438436203547874176240924623328a^{2} + 352386291868428775072109257864a + 334980859461624510089777064848 )x^{22} + (-591120613082956205853165989280a^{2} - 434178192589458655361566921360a + 347148971129276200821511569776 )x^{21} + (-39645330783454909981334601696a^{2} + 81156867375228485054270299040a + 24593818870842965884424773416 )x^{20} + (580764000521250233693628451744a^{2} - 525717787340312197857852112512a + 90552486527612138686522368704 )x^{19} + (510522864440224969804387508232a^{2} + 142050654983534007796235958712a + 145742879068780708082876445560 )x^{18} + (241648973590352221187625385616a^{2} + 412225315019590858860787146080a + 146184242971999743320654869296 )x^{17} + (-521035776664268319670927474856a^{2} + 428543863220736752480336307944a + 289952376002616613339399958816 )x^{16} + (-271893818363201345255615158208a^{2} - 575569975541983282196588360800a + 535479847622293662305168177984 )x^{15} + (-406725403313353693449106493200a^{2} - 95762162428378148344835734368a + 141489719823238701496126196576 )x^{14} + (99953726505536653358833044352a^{2} - 215607856882551300619246173216a - 112312032781027036264063403296 )x^{13} + (432977502460739423914151037528a^{2} + 539268165295238308947615854760a - 482014031233364660303000645024 )x^{12} + (149207456316022207091707243008a^{2} - 83383646867731363080915361632a - 451959637409087655911452235488 )x^{11} + (-10307372005072305138075556544a^{2} + 159710109256614032538962905024a + 322438943519637119720225689584 )x^{10} + (-385522637490347922886451386512a^{2} - 148334515464598227494505112624a + 513897980580284623008690322592 )x^{9} + (-364426374446044991478037377504a^{2} - 7639994454522668176369087328a - 389174337298003640174276472896 )x^{8} + (-454222213468332761461376262240a^{2} - 495650924141487936737051806848a + 39243794574591582826775096320 )x^{7} + (-98884746061449000250964257888a^{2} + 393287012318678958065961364128a + 327218003253567645430958780512 )x^{6} + (315792488539440583899833757200a^{2} + 100180499644968308722178997984a - 229631373931546868379382990656 )x^{5} + (215366513040147303579752080160a^{2} - 350062441381888206308061451664a - 166024953678376535987136650656 )x^{4} + (483872287990402746223637366784a^{2} - 244661588200140111632989648224a - 32486475077394104498390394208 )x^{3} + (566761611556718318900879089632a^{2} - 30618885685537764044774037568a - 525375553873124403547924541968 )x^{2} + (154931246633813477497232105920a^{2} - 21480758542069115066174985568a - 361454663087121812000013496288 )x - 110037714592507512434202613664a^{2} + 18693274010807633351709705136a + 195658561711514182131214276940 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary