← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-308395077516299733449509730912a^{2} - 274790079000778813773945113280a - 214809361221822423692602986296 )x^{46} + (-144306937862281169483651189208a^{2} + 220626796031306020174125630032a + 578492811973731993310021137504 )x^{45} + (-348598125976830102442918947064a^{2} - 46085719905891085803148772524a + 563277581084596544166754191708 )x^{44} + (-451516019603262762703260630064a^{2} + 480890443201721488921388827200a - 184272599796631603321974285680 )x^{43} + (-402801836464970309779245262376a^{2} + 283144498839267508005983984096a - 152414013568463231784710158492 )x^{42} + (314620634532247079672259214728a^{2} - 231469091491573624504427529344a - 577417400117946069488548570696 )x^{41} + (-442170525689305979990570469764a^{2} + 405608636336124487136954881180a + 438682065925232425439613561868 )x^{40} + (133364972458453542250616030464a^{2} - 529833498261309135568886870672a + 367437564429455539113477392416 )x^{39} + (545652266950897696801402314288a^{2} + 614590068975863728703104665416a - 224902916574739712122371598032 )x^{38} + (-465936584199618673421855829848a^{2} + 235652380628833459685295564696a - 188328825633452680184959484848 )x^{37} + (180083482460766888406693693288a^{2} + 129016203031654171078629029272a - 429130521084774867334963806920 )x^{36} + (152994636712848046935876340080a^{2} + 432707720795241458266684873904a - 376217592717708548197915185216 )x^{35} + (-155371102347109249093809521720a^{2} - 453958679978674784909677096216a + 448097135702219387910665998736 )x^{34} + (-333016516258582378626796827408a^{2} - 588368024597445212454862998264a - 527407641648026973842917356816 )x^{33} + (-62499310141324722837682235024a^{2} + 12990550959948025869599748472a + 44903125232598188770527267592 )x^{32} + (466178615536817890353359976944a^{2} + 511718587939486561251009514512a + 485310381505386735027200570832 )x^{31} + (75831368241966404843861704648a^{2} + 327527299227825814490773161584a + 244944558648962797632517897104 )x^{30} + (-252581871274152245730943201008a^{2} - 174796111552357239685188238752a - 105176210337775251805169411952 )x^{29} + (234082804870239735063944675664a^{2} + 127094288729165920561981317384a + 335794022138171158517809576288 )x^{28} + (-308695331583752893553664425312a^{2} - 479545186461860828388141930528a - 73470183869582894355537994816 )x^{27} + (-65789174839784836432609572800a^{2} + 45164118872620888354006614760a - 200710783856310483360902328336 )x^{26} + (163057908269979803030005577392a^{2} - 71222067516276604151061861152a - 99734195858656706403731872768 )x^{25} + (262772483140781956430210418548a^{2} - 544383994331056413463031028196a + 470285183970779703587789961868 )x^{24} + (520675644957687638240102998208a^{2} + 197055161357868601101093058144a + 109188917652567486517144750272 )x^{23} + (77344826524825079348791151776a^{2} - 127641263766883119448482742896a + 456400995246380720361332184192 )x^{22} + (-170563562559054416736540665600a^{2} - 194316421818820063291573628560a - 384018422999193956555418278736 )x^{21} + (610681368407446457423026521144a^{2} - 367215778319788543284547663056a - 359766838456697450033774365880 )x^{20} + (-618467857954091711507900543616a^{2} + 125949322507072323450472317696a + 326743767678516860269561916256 )x^{19} + (365651938180075580453622086320a^{2} - 388384996409885916592120288168a + 393077196052531201507376321080 )x^{18} + (-461103458193759103542180927760a^{2} + 211649635365584543697982000128a + 146965484613217532153706952224 )x^{17} + (576494066455757092295948476688a^{2} + 610531654139857471964643508520a + 343911308450585089089426372816 )x^{16} + (25372217259667038412356431776a^{2} - 394383893762505387430251599424a + 208349822646355586791767170720 )x^{15} + (-96855347189120076467485836848a^{2} - 411163934768646364383779601424a - 342981054658152406403779465056 )x^{14} + (-297468338798525957659861685312a^{2} - 143725477522137048588752193280a - 407784618720330473150093536528 )x^{13} + (-583591920951092048284638923440a^{2} + 73888241292582665859021463920a - 370969884443241263993438403312 )x^{12} + (445612241713859251208611672192a^{2} - 177218336605853541022640464128a - 622276318093156763147238020512 )x^{11} + (-500366878228919061736794678112a^{2} + 451857085708952657594139993760a + 293686321623832529015390094160 )x^{10} + (560156144704219727629292733936a^{2} - 463690276321261417397365976368a + 570512615917455544692289457472 )x^{9} + (-452322211308920967375004597264a^{2} - 173140878153374387928882706688a + 77764505939743534340278447984 )x^{8} + (172044288518874769320256163840a^{2} - 305552566085057774512617653344a + 361118309226216915554005076992 )x^{7} + (546130316862481322624460683072a^{2} + 290859294264989120206023740480a - 124950751583779457729801323440 )x^{6} + (220309926987725738036996278496a^{2} - 553234740300699375097551426944a + 396222848043279247836762692864 )x^{5} + (166306818622578428723728140880a^{2} - 516944402297485453742830162128a + 289964206223090836743153352352 )x^{4} + (183157353576458234341926087872a^{2} + 497555064735666322069046380992a + 615138709606788203641575239296 )x^{3} + (-261472765811848447684024466064a^{2} + 521992030666315786559108402992a + 302425501579750241007899722880 )x^{2} + (431393052092721472528250218080a^{2} + 403972388618263674571733382432a + 433086875378322320113362076640 )x + 479972070686440815679575575260a^{2} + 204675609565722868443077706064a - 413484236943662251266736293924 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary