← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-380867283123874732550965737552a^{2} - 188004523384669035153922741008a + 523682229949843314883064817976 )x^{46} + (-331994074854104148715356111128a^{2} - 379730678253444111701057214448a + 494931669253754600255714382624 )x^{45} + (437382593330416021295698039344a^{2} - 619768057593075103933884824236a - 406510928345756602495927922044 )x^{44} + (466264504416347909563915745568a^{2} - 74321457383274335508503369200a + 301127409934620414795113542208 )x^{43} + (106747996460885480742031109616a^{2} + 438795572022029118365883368720a + 77473747487600709760635580676 )x^{42} + (-283184210557867549064602628200a^{2} - 190580929765971080516484299584a + 344943309295106564972620344328 )x^{41} + (-471105458803820437966500471988a^{2} + 332468750585070137604665693308a + 88985634263791043682242320060 )x^{40} + (612632949850996975503610243904a^{2} - 531483409729750239731240494288a - 602294779520866446938186099104 )x^{39} + (301833782700584187742191572352a^{2} + 573220727692238561306069297608a - 278491122943620578570069087248 )x^{38} + (-548106339903357282441595269352a^{2} - 237039499324538557615630513912a - 356938861354811920163947561152 )x^{37} + (148387693946208953682695028464a^{2} - 183700212408795820096671031280a + 176140583384614415499078928352 )x^{36} + (-391617608307600888618590467248a^{2} + 349479512534117749723461443312a - 583789832723568446938020057280 )x^{35} + (625322643405280929818645657672a^{2} - 155085924331221515363629412296a - 272667851001622391507910534384 )x^{34} + (76719665377055206359034605344a^{2} + 340519619733309534397298127864a + 465430935233691031282810577984 )x^{33} + (598258443657325291496950597312a^{2} + 141058485044837532382996438936a + 156317854572899879039779917664 )x^{32} + (593727282998816881519337131056a^{2} - 96241417595478671536090061360a - 477858210459032192988685299760 )x^{31} + (593772578242169448634671294536a^{2} + 458924799077770959510855693904a + 17914727591969065951420638768 )x^{30} + (180902439102952600714647860368a^{2} + 437871551954281248089669186496a - 198853597932042106235022312880 )x^{29} + (30812361235949427000799851760a^{2} + 486917466005156052425163960232a + 324431642254885588754661390384 )x^{28} + (590332628326166291463227721792a^{2} + 65844911557435808691123582880a - 140048950850399135010423504608 )x^{27} + (595334475676981027208900477888a^{2} + 390639159515830200427460140104a + 55555105582487047466773774736 )x^{26} + (358656532677703960664769220064a^{2} - 614313279280220817038284433152a - 39698803907767846788413859760 )x^{25} + (524738883445492354176772688148a^{2} + 41445471338923737688503146836a + 138471992370227578630676565268 )x^{24} + (-560905931004050997706807023744a^{2} + 65091803408131528445789408416a + 386304371605123613404213838656 )x^{23} + (519984843904858711090206375520a^{2} - 570921324354982378406356453936a + 98529525063362771043084316832 )x^{22} + (414677310426542082845845736672a^{2} - 122560797899867887433193723696a - 496617435051601366061287885392 )x^{21} + (-623991765049168443595795869848a^{2} + 415631645068523186438566929520a + 74975117260014559070180160504 )x^{20} + (-247440196685433169679789669056a^{2} + 284640220671305420325868633376a + 318029880961419574821710122272 )x^{19} + (299856195677810926200247595312a^{2} + 596212561267899106800237843592a - 82523796737589731927830812232 )x^{18} + (480985687754357980570193345808a^{2} + 185788766544373184428959251744a + 90107991094557240171481670976 )x^{17} + (278793495369890344606135012736a^{2} - 368439748906846034356744694200a - 212627436558956044272863640688 )x^{16} + (486743941569710950814267477024a^{2} - 158140524236086794928843607232a - 9421132441991991996233714016 )x^{15} + (504765482428267531489975137872a^{2} + 411611179153062646486522461520a + 124215881528223119420865238656 )x^{14} + (-571584087863172056423888345920a^{2} + 265471876954693696884547370880a + 153840769570316364936220664624 )x^{13} + (411586106133912260772997333728a^{2} + 459125206165390323259844622224a + 498322986853947983027538620256 )x^{12} + (-611975641887713336908666513344a^{2} - 115886790799186246487135532800a + 345953782401343358153492539424 )x^{11} + (-288417178935283960069559432352a^{2} + 141755711419572839139620075808a - 429930923461606869566119644400 )x^{10} + (-432007714837740858827520268688a^{2} + 596394771198575166243134315376a - 584741294931378267755754307552 )x^{9} + (193738565932303626642393067728a^{2} + 402461148698509164520364886288a - 182510783199779020214245433248 )x^{8} + (606161595063406589129794010944a^{2} + 360888535144232707095779609632a - 332496784194267807625811136512 )x^{7} + (-54696521687984586461200974912a^{2} + 463737528130011349060621080800a + 554333960786234356898188242512 )x^{6} + (-389469883833151460775966249120a^{2} - 595367700291086411624057398464a - 20245872578890764113586628672 )x^{5} + (-437099656868636093544514802160a^{2} - 130815195872005941928697145904a - 446402954456540980693037666464 )x^{4} + (-112492767406970044756495609536a^{2} - 71539799627356823618928091072a - 317737709163726233200828654144 )x^{3} + (110651547045817140529722562640a^{2} + 92293397552034210349546880272a - 33232541667869032805907530272 )x^{2} + (-633596555282957448613885181184a^{2} + 580240539661689938153529390496a - 115412824602920028374868126240 )x + 265715041349233155839376747420a^{2} - 254212582290829929628285391616a + 411943341395370715864606267388 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary