← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-323338669213909544578508872816a^{2} - 525871123054988774070213850848a - 420801732282361896518932727608 )x^{46} + (-52146690683199424093557267096a^{2} + 312558759064202860292868096976a + 525800535346657375486586302176 )x^{45} + (-408186341501856203589658470984a^{2} + 161552997262564465026197804684a - 615103855819427444441456737020 )x^{44} + (127678516534866908549160583888a^{2} - 7783072895404998544470872672a + 61295028880559868123638340608 )x^{43} + (172707147820502311315787953664a^{2} + 425970753915258073607490217688a + 81859466221146060647698581556 )x^{42} + (-174223965643999835059198689944a^{2} - 63087235682861171731709289936a + 57318989389198745263196791960 )x^{41} + (-630767489035745106041985275020a^{2} - 556496576929214086813222351812a - 150913114000535726116418490852 )x^{40} + (-438937906259532698435409341664a^{2} - 561739894555233108838430440944a + 602241133228045679892676104256 )x^{39} + (-123911612918944646367111660368a^{2} + 19725971069075565387529804088a + 317745048053297918969427937648 )x^{38} + (-160650047022327195615880986808a^{2} + 317642013037780986087276143480a + 127883900494915259903495480576 )x^{37} + (412580060176434449367192968456a^{2} - 215231531835513355542842176408a - 632225191115633840928932615184 )x^{36} + (453791931593924954393875878864a^{2} + 554512308642019489674151441456a + 371256775625310854766690529152 )x^{35} + (-376893583517958116337750542184a^{2} - 87752094979550008935403415016a + 329485138408935369928043482736 )x^{34} + (87381387453227361112494949232a^{2} - 58720785979740249995498359160a + 70885452322960714288878944448 )x^{33} + (467454541596055511430409394488a^{2} + 529050604408012822509469468560a + 313693602353496351919986222624 )x^{32} + (-417629983864831887902965547472a^{2} - 562604405253766250883551217072a + 544667445199051472623852525456 )x^{31} + (-91479458953378768460603088600a^{2} - 223997299616509067530704814576a + 482617263489871587120149383600 )x^{30} + (434649430427434619133312478896a^{2} + 311391573531234917447477591040a - 459373831280020409160249391056 )x^{29} + (158357729094889490396903455680a^{2} - 241109424001933259296528330984a + 170257275792147455523213752480 )x^{28} + (332741321318034899253079039200a^{2} + 276513926078147420566991502208a - 480463359355686723259864163264 )x^{27} + (-475682321579754174988837926256a^{2} + 140202690424723860728367102264a - 618655384493614976885099402240 )x^{26} + (373791146414541738662668181072a^{2} - 441997926497974696248280091712a - 326640860527748993882744494768 )x^{25} + (-446691778604919595035312984244a^{2} - 223490925562288393395827486012a - 421107351297628551325939904228 )x^{24} + (-92148161343044642170622984128a^{2} + 318514631911762877744226682016a + 539173094601562278498024817792 )x^{23} + (162549169840060233642510617056a^{2} - 525000390395799787248726467536a + 104202993696292095402879866272 )x^{22} + (-181535046928092798640323240288a^{2} + 169727327623860040320088410608a + 568154504133566753978982925360 )x^{21} + (326318652153474853894632335992a^{2} - 232444549313621361432844384528a - 268766896445990043164448972776 )x^{20} + (-313809751267420862410156162368a^{2} + 129985670270660948838352544736a - 605242418397687950561388282112 )x^{19} + (-359993071667135139131473382544a^{2} + 314212513088080730481498038312a - 531606713685500690360191378312 )x^{18} + (-122052775939325026028432743824a^{2} + 272930508315137551778065153280a - 507877223750433849692350506112 )x^{17} + (-290491428254007280970366228624a^{2} - 255924724938058172944932467288a + 47796591768446835177733477280 )x^{16} + (137741264063834092003209853856a^{2} + 157927506066756263386769531072a - 87618764087308043725789634784 )x^{15} + (-80533476251434961868643125616a^{2} - 247187411878472544743679230992a - 482213547233645422443694415552 )x^{14} + (530213251496062833229761489024a^{2} - 408036081938520870695405729024a + 119526114732226998399259945968 )x^{13} + (385742589566747991389944542288a^{2} - 22488317522682499492684968160a + 81238347039638433029668428912 )x^{12} + (248678257667151513970861357120a^{2} + 215343245767858353700771916800a + 550574311465099610722024564064 )x^{11} + (-122159818206244180672664550048a^{2} - 528619028617859387646603544224a + 622679750711302990643149760432 )x^{10} + (-183144382781979015604047773616a^{2} + 388891125733183365528522146512a + 498287732472202264015597993504 )x^{9} + (301184745071495512772523175408a^{2} + 259333950841573004314767260912a + 303404147615118222090233261360 )x^{8} + (-22549326126121643466078755904a^{2} + 317329305768886639564317743200a - 507350015157195283283455718784 )x^{7} + (-54588267466798298536534836448a^{2} - 579269032117587555668005726752a + 150056826550649349345558628528 )x^{6} + (75126278529009111135025646304a^{2} - 624834694436060422300038720576a + 481075158186793218758202641152 )x^{5} + (293595835287506194806688235248a^{2} + 529748894336016733090060139184a - 193909087701094181793236261248 )x^{4} + (109077823620077325823902353408a^{2} + 575037339682265743532629677888a + 273405987076430367221594280704 )x^{3} + (414914673600209209538669035376a^{2} - 491741727085918208290296677680a - 287835162806662603026356710560 )x^{2} + (-142737630358199858548082344224a^{2} - 575212230475897495607912668032a - 257510556374659754821716982912 )x - 168946535447663690109533674676a^{2} + 433906599283519459605099881168a - 500460985207678448292312520100 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary