← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-628231541422392756369308028416a^{2} + 104182701337602562344406489552a + 408073236803282980374609163352 )x^{46} + (101523510090852792185570409640a^{2} - 185793695491843895315772754288a + 249363699367833902462096380960 )x^{45} + (-167100698656134066288531551200a^{2} - 458144181703950643246804220660a - 295732828631131577703849588132 )x^{44} + (-45325425753529208231092548832a^{2} - 289816291345928482557828407248a - 365835531402845718277572876240 )x^{43} + (-548965711054713916684976955240a^{2} - 122803590127524980338222204088a - 349493912461084141779897929260 )x^{42} + (-128423605644161198022731909672a^{2} - 33965310949330252639442329488a + 106113143783627473096055134824 )x^{41} + (-299331296408902745395293517324a^{2} + 36854693643924090958964776524a + 79368588788200602071107522988 )x^{40} + (539724195524147822146567906592a^{2} - 344329337718000869660737383728a - 534238778340668274115960674944 )x^{39} + (170270407564314455682047835936a^{2} + 61750643368267499957298960056a - 296178000201598196553260555760 )x^{38} + (-236529321710951445514231701544a^{2} - 331626006631118137542828128280a + 123301569508036988414801322832 )x^{37} + (192674213943111811646345585104a^{2} + 555796078340256924903280961920a + 27103040546543879026740568392 )x^{36} + (-450332635119455916425909287056a^{2} - 303139574171625584248547526864a + 532906388100315532777376362368 )x^{35} + (50073316359130804649423012760a^{2} - 25889024777061274448974403320a - 43816630334509361034121692400 )x^{34} + (-570134922163956722591164639488a^{2} - 210480070154441729665161771880a - 244845320916300001670253197104 )x^{33} + (594657119198194235799032477400a^{2} + 604116757530647471619297040928a + 42776078797351854790128812920 )x^{32} + (-298348204064119539908271718416a^{2} + 407895220132926170595111464848a + 130419099042964677438098461840 )x^{31} + (576362523060470614941210126184a^{2} + 221488252422662061332393585008a + 495477280579086054230511641744 )x^{30} + (-6951394754994004447514502800a^{2} + 144931894683247838168144859104a + 134794453722496841297808067440 )x^{29} + (503891415007918857018058806176a^{2} - 179320614359500877296179266280a + 628513679590289656929620591536 )x^{28} + (280635979648287839330400697088a^{2} + 495460440083894846428227451968a + 26427947931721605571934593184 )x^{27} + (512268130386740251844075722384a^{2} - 174286633359746570304591393960a + 95123825646056752714030908864 )x^{26} + (-87162744385427686315333187904a^{2} - 594652627263636153233397583168a + 1013570072786062397107859136 )x^{25} + (398845033865135599597766442284a^{2} + 397758814571159431385351769804a + 61289033428781338955440682372 )x^{24} + (455014622241693128764853734144a^{2} + 281277512311252691608431204960a - 156543294835916513323541527040 )x^{23} + (608211131313070470589713319776a^{2} - 334899227861029984345771460432a - 556949860637459930779353848640 )x^{22} + (-80377826668675040407502840384a^{2} - 40663306345730694613293167280a - 334235275569353139794142088400 )x^{21} + (444463340792684567117452233032a^{2} - 82809297318799865183611109968a - 67751891140542979149391412760 )x^{20} + (-376676914487938439622055581824a^{2} - 556088161803605542873252452864a + 394289451086678136237182071872 )x^{19} + (-291623429264848195845708798832a^{2} - 123271376890983925660344287944a - 369798769822876864079124485448 )x^{18} + (-206685514149666736476219570800a^{2} + 266699484045412787948243190176a - 394337290867622593945522084256 )x^{17} + (408481680610652144868356020416a^{2} + 318945436903704682342230935784a + 454368282555842777472659411488 )x^{16} + (-13440831921329490286816668384a^{2} + 610923598057437127948821664320a + 222362877788299725465871231776 )x^{15} + (-165503707901572918905001756080a^{2} - 617359731707530420232434779504a - 531868316310277588319229045728 )x^{14} + (156166171025304082060751773056a^{2} + 184753242931247239888377667072a + 496248843736657884333955988528 )x^{13} + (519465875707189863688937378208a^{2} + 316646456320426026485601760320a - 230435693365473094436802590080 )x^{12} + (-23918984479281248006019746944a^{2} - 511424821145958680766540242048a + 156976248058949077323782348832 )x^{11} + (-274538681221045818114661396896a^{2} + 449403650813088233529070433184a + 297450598278476051982334524784 )x^{10} + (-559264458771927897873217918768a^{2} + 145124957592755074999380456112a + 406483868773467464712138192000 )x^{9} + (-413207305617143421994394251376a^{2} + 110156729483955972015225330944a + 36185810192281122609905595360 )x^{8} + (564515670794226785260432358400a^{2} - 94824475150791959378362261920a - 284198060694648435238800273792 )x^{7} + (-271087590925548751854392478816a^{2} - 45358996770065265249104329024a + 528957101587702572098918667248 )x^{6} + (-599325990598649535696492671008a^{2} - 164160926554173120687510242688a + 587979644794013298108348674752 )x^{5} + (337702978240418655848127283056a^{2} - 94520324255246826129591299760a + 559711132010408467823594695680 )x^{4} + (125379515720016585431020441344a^{2} + 99400540524592368494371597120a - 268216607784588086279282692032 )x^{3} + (22055884599029191370422287696a^{2} + 257831156542204728150492183024a - 474296399098129192630628136640 )x^{2} + (-302591205502798907913226954432a^{2} + 267850165519583086301318537216a + 626746602251028707739364803968 )x + 499455040019246377824480120684a^{2} + 196121351612702214181800316416a + 43093655138811915304154139324 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary