← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (395279613424058042723360105408a^{2} + 365343971642600966249155914784a + 627188689462873641445772376280 )x^{46} + (272779563333535974343864240936a^{2} - 187222560887643691903283762096a + 316668107738322189484368034208 )x^{45} + (-183766335743643775440036736264a^{2} + 490568061739195960500230800572a + 297783335958318733680688164588 )x^{44} + (-245580496801946991510176248192a^{2} - 228031939421749184625782702320a - 391467802273511773988509172208 )x^{43} + (-601605958684438567258514472632a^{2} + 387352650674306708112138647544a + 208193402008840901327099948948 )x^{42} + (494369082827179123185758118424a^{2} - 197472928169480499339942312144a + 98259531596572140223401681832 )x^{41} + (352225440523558358925302865404a^{2} - 441321370267620747920354126764a - 633819913369600462582482057652 )x^{40} + (90708114822831783958942956096a^{2} + 251627595669860264755749262288a + 503024025552342659332419858272 )x^{39} + (-209795832194010775452888086256a^{2} - 222056080566769821964547721848a + 4037634538016988463885296064 )x^{38} + (506039730940322824482167222104a^{2} + 423496134760612700014044196920a + 86136559205120473138587156256 )x^{37} + (-581399528201844328375861403136a^{2} + 511215358749471188832202915312a + 134800377759497192155255310360 )x^{36} + (288210668002947219866128036592a^{2} + 418784942669767015444120397488a + 621115643013838813159934106432 )x^{35} + (-273035259119139700739625107400a^{2} - 136254680522997104588580550136a - 397217810851670230756546880544 )x^{34} + (609904721735903812920008365024a^{2} - 158231542409697026478976137416a + 129863770735493206368310775424 )x^{33} + (-31854921159263209989893671408a^{2} - 177574594932573649619675899704a - 1410982425170843502873340768 )x^{32} + (-541252806500775332541753346768a^{2} - 182612320280436104183635878960a - 198848207335342718222698219760 )x^{31} + (593066778132463970564314212200a^{2} + 200843043643008296652333576912a + 233768490654405594422626998640 )x^{30} + (151719642411792287321728226064a^{2} + 619019385482639013360514127296a + 385010786669916272214824043248 )x^{29} + (171362033423047744563102826176a^{2} - 346014248446000292787967137560a - 287988023522489185318427492224 )x^{28} + (-82754595450222948164751823168a^{2} - 582125264328298420991353471232a + 405726439219240302662463282016 )x^{27} + (-566657108556315369730032050800a^{2} + 627830469336127898363673481368a - 624226297413660515308978555216 )x^{26} + (574472663274935290874557530320a^{2} + 115588917882615068053470833008a + 381084771005544959288891714800 )x^{25} + (571258770116954100394884393756a^{2} - 253650737023313962487479384436a - 257525430216016969178916461196 )x^{24} + (405668300877183750044209994688a^{2} - 591581652751033180982604570784a - 632724479086143217540437533440 )x^{23} + (-610388285908167376972872405952a^{2} + 505690975534980843140670945136a - 528743699713022579544629731616 )x^{22} + (494976112658707332431963525696a^{2} - 570612646924069792638813307984a + 146401426145920557969779557488 )x^{21} + (-408077804613525159982594200952a^{2} - 234272295135205293008441624432a - 508956506119442164186506817112 )x^{20} + (332337769971496763795978037760a^{2} + 488588132624623906568452155584a + 172306282142272146816485523520 )x^{19} + (-210431640552182625393917877968a^{2} + 232258287265174542492706682872a - 396444841084789641418186689064 )x^{18} + (-605010787933496924756438933488a^{2} + 436196278468174647320771376128a - 569992982092275201748025145504 )x^{17} + (-212011255286631955532457703552a^{2} + 375172167127413847697439444968a + 449869131088546316862711356384 )x^{16} + (-448225626323323519495653363552a^{2} + 380068895390614791252166142144a + 106895073580368648973614878752 )x^{15} + (398917775762733035406378819568a^{2} - 130599443938051308177777174384a - 88667814505648526114901384640 )x^{14} + (-145232938911784788162908212416a^{2} + 48555894357037982764999440192a - 268511230694433048386917864592 )x^{13} + (-364598290255087933389862991456a^{2} - 526010585932921167376549328640a + 487563666093274742712153589152 )x^{12} + (616776342178023700236145440064a^{2} - 148325280584127271594552990592a + 393522715228969246136712215392 )x^{11} + (-391395525918620481421482287552a^{2} + 172757224295052076866707359456a + 240189495493423227585301376496 )x^{10} + (309737503173128925200976612112a^{2} + 339558007719402420211308245392a + 455722782948148069280581169312 )x^{9} + (468593446256204628973861521072a^{2} + 314875480181113261931811265616a + 388325490365845091612330592992 )x^{8} + (7009752894628253911744062848a^{2} - 460501033226868757770127430560a - 350597380285750530450570892864 )x^{7} + (296734921383033982436717965216a^{2} - 391256197716452210028684755648a - 501665002151973054556659247568 )x^{6} + (606098245649008971205546203744a^{2} - 338983339204334909560399695488a + 224498436003665242468611034432 )x^{5} + (621970450129724073634509523280a^{2} - 114631124692959498454874985296a + 234747998496741998314145748416 )x^{4} + (529875902533575935222115112448a^{2} + 140754747706056135225597177792a + 304179373249739706558088827584 )x^{3} + (220277460903054317621707253008a^{2} + 459404335153399605323864617968a - 207836522364422207293103255616 )x^{2} + (569866383745759335815255969984a^{2} + 589304423297469167237188188960a + 415481398922208278359388989952 )x - 602603786027712895232531575668a^{2} + 624783024461093954880857235680a - 460845855534760734626161121412 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary