← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-256486076825271691700871685392a^{2} + 488321074358089870287575018384a + 397262266940496254209696288680 )x^{46} + (-619978416867200089884820124312a^{2} - 535014610893465326406348827120a + 145340749099429045089224566496 )x^{45} + (-428805323811939330639363167936a^{2} + 124338768947894594711950236700a + 27686015567711542127125846852 )x^{44} + (-460172069070338899105098645264a^{2} + 478309468781268324138463497088a - 284118129778003222767327966688 )x^{43} + (-383546567743855314390112450416a^{2} - 367098754580887572376922245912a - 260854306765129809259557501548 )x^{42} + (529505258133915692188081708168a^{2} - 590325542256163318401887379696a - 541537525584595714509080146152 )x^{41} + (-56325108826712028545827975620a^{2} + 189211638435496590802306333508a + 559284150642179612697190092172 )x^{40} + (279351358508429966668404601664a^{2} + 408389120724797858089793444944a + 215377607380022311102691913312 )x^{39} + (621159577114947205528051268032a^{2} + 74555980129557122350968604072a + 618606111957831737535214219488 )x^{38} + (406541325305836876745146359144a^{2} - 533063047920186344811816594008a - 308633751465663494052687985456 )x^{37} + (378890718106148644786269497048a^{2} - 616599275883738650973500070280a - 508875279416471115691131243136 )x^{36} + (-363854033882411701224887368816a^{2} + 531656012498949280527420561264a - 211890710952147487603614196096 )x^{35} + (-557278317985398418417985787304a^{2} - 121223552278305494134492068232a + 565264436306867676448983571712 )x^{34} + (607454463874768027956655795952a^{2} + 240843776638294919886885617448a - 81777912738322935869572617200 )x^{33} + (-277736283583436387623167988528a^{2} - 158908038547338339588390140632a + 92987045399266586102790825080 )x^{32} + (190149569842729296327053262320a^{2} - 485225603157620745798494118256a + 458544734994591135297492458256 )x^{31} + (136627982147580410888580882856a^{2} + 165423185458933670124428104560a - 516894982220340833236875688624 )x^{30} + (124156292438824851155595761104a^{2} + 514054053557952802089380496672a + 253527878484364584300650325936 )x^{29} + (-631855116568849046181945728224a^{2} + 455288415769834723653758251368a - 670218155888692752621127728 )x^{28} + (-499009244267828129375967279328a^{2} - 31698585999919385008550976960a - 473945859375889428508609487872 )x^{27} + (326800972934062539966848063632a^{2} - 377421008877395811235520980200a + 165912079265210703807155369552 )x^{26} + (120322944977514223967975770752a^{2} + 423014731129366942855317054064a + 302349320322410274403384028544 )x^{25} + (104995153552584555876651742492a^{2} + 511440012404848031139299644964a + 18186956520203177220054890348 )x^{24} + (-256535816243676282035011432704a^{2} - 106652510440198651086941234528a - 404463502626981582161311135872 )x^{23} + (476328199230760339743272688320a^{2} + 155984341402520854857724999280a + 5365994846672174777934845184 )x^{22} + (-478722850236015069527435878304a^{2} + 314506699992672015512351451344a + 124190140344397599482276466672 )x^{21} + (-399710388844721456584651626856a^{2} - 121444742183665884636460746928a - 495283600432537038043386471240 )x^{20} + (-200582243609323901841962470464a^{2} - 73907203200260123161585661536a + 487042378982353223038985436352 )x^{19} + (-311213666105869328342039320816a^{2} - 75127438763659779682500447576a - 620613764790075314828556698216 )x^{18} + (139823304655397551637378555952a^{2} + 586716069037651664658280390816a - 432587465670743535854912892992 )x^{17} + (-272557073750055337396087630064a^{2} - 349858845013304772896352126392a - 232082172543815309287205375680 )x^{16} + (-415502398647628878922509630432a^{2} + 623491164036607779376174819136a - 57383760923192197685336389600 )x^{15} + (-360304529617317265539302885072a^{2} - 300772157977598071378586115792a + 430270955230777829062928813344 )x^{14} + (-317745154042950979369691414464a^{2} - 556534531737938274060985188032a - 161794182053467726775838717264 )x^{13} + (-17857269178165230051914263664a^{2} + 324081984893637924505213069920a - 569813674988487411065247409136 )x^{12} + (-52556849627656824848395935744a^{2} + 619664757968528191406598295936a + 115435215553366742666642710560 )x^{11} + (-625545921222218617726358654208a^{2} - 236407890025606019263142004832a - 409326853725740278981770745168 )x^{10} + (13654211180398281566699169936a^{2} + 586923313849459967874307120816a - 504060615447107033724829531008 )x^{9} + (-415888952436907010387866082640a^{2} + 267465084240290290948149889664a + 448478008170649043610394101456 )x^{8} + (207560942997794549379916760256a^{2} - 121333057533541801135361925408a - 15688957580870833962168404544 )x^{7} + (290623887394139389372987859232a^{2} - 578643168805958450593136622752a - 418672358658048461865980148496 )x^{6} + (-539242854408340130455159339168a^{2} + 292284174097245100278017748160a - 267557952769505146542692621824 )x^{5} + (26668443913141411935927805456a^{2} - 225094201893226982649641879280a - 625650289549441106463957440320 )x^{4} + (-19680946675956325350982925952a^{2} - 539316280158340767848117850304a - 71342393514454207602265350912 )x^{3} + (57194078526869251742009228272a^{2} - 229127631159556528409920060208a - 339049378269777571344445389024 )x^{2} + (347059402300548989966108559712a^{2} + 192880876112808105359098704928a - 26951219059989461175827535552 )x + 228766866693190265123117624748a^{2} + 207692747308981905412223686704a - 54752293078527046891522621412 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary