← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (168495656361723260662603315664a^{2} - 418130110217631867244081063488a - 592493464192420937110937218568 )x^{46} + (179611218126540579431799847144a^{2} - 95433713423675930683334288688a + 549006740872880311322404702880 )x^{45} + (143842370664764301178641286184a^{2} + 608507193461608514246059416948a + 121177190943702737224723287684 )x^{44} + (-335511017590120328049404155520a^{2} + 48452943783190108023591598320a + 370798927486387282973712995232 )x^{43} + (-383804521245730490659610265632a^{2} - 448201007729376595534873681824a + 121639649236934914727704011748 )x^{42} + (334112351318810934231246926840a^{2} - 86861399834606126929202287680a + 588938950073945684753978149416 )x^{41} + (271892966166785034758119773972a^{2} - 278798025133914248165301142076a + 308645983608412321029950084572 )x^{40} + (-366195716265891032706880576672a^{2} - 172942784503179511507414671824a + 163068093126827525220117017472 )x^{39} + (-188726331755954478411918304624a^{2} + 232732291380308610892643987512a + 502217561636946758138707184064 )x^{38} + (277454383445862183822715445944a^{2} + 555706671411639781569257393272a - 503232265927860103822033174352 )x^{37} + (-399701110310048890101793219136a^{2} - 564930164640379603918008170432a - 252605260982676050144674547888 )x^{36} + (-529470161146009761772263738032a^{2} - 151030730462796996790229779984a + 297774815341419431945227340672 )x^{35} + (-381628033286074281713165446616a^{2} - 560578337401339067801958398984a + 197582058021209573370212767552 )x^{34} + (-189693469204565046839667409216a^{2} - 90600626200227064844333896904a - 171585826752659436877136700784 )x^{33} + (23310316128170662254437235896a^{2} + 521874876746835713317571056448a + 327059118594571133004765854952 )x^{32} + (-341983654162410133378999438480a^{2} - 448799580224071899333244897264a - 82424145084677965219017607856 )x^{31} + (35841198485509225899824149000a^{2} - 99841113803948701550195234448a - 352414298242440932658893424240 )x^{30} + (-419377854247807332483992202000a^{2} + 183423508378199852764815350496a + 54256082921423700924905216528 )x^{29} + (-199696763518904877301473960848a^{2} - 124551962814931003798641799656a - 330487554642531731815997572992 )x^{28} + (221548087439013489706089207808a^{2} + 251839078950338978439055270240a - 157577130804727149655238506144 )x^{27} + (472917214587164202216500428608a^{2} - 630598537690382647769515324536a - 333590995836369994578667255872 )x^{26} + (-419830809858577953486725753520a^{2} + 489637395804695119984482795376a + 237932008098702865713608619424 )x^{25} + (-411064821790970014531777773948a^{2} + 197769770666105416538478388468a - 527361481192428008052616673212 )x^{24} + (-533961295567844879362572772544a^{2} + 256293299817212331490547075744a + 17640241669055637027383024064 )x^{23} + (174207436831035549017004892864a^{2} + 595532173056007907173240504720a + 366455883456924257017656650560 )x^{22} + (371934834034338972975513089376a^{2} + 482547203499950570307822682992a - 114523389231778158187952295120 )x^{21} + (473471834805693124480843968072a^{2} + 212326408963759098611889413168a - 623972516555115290649307326152 )x^{20} + (494948351848513590830218149760a^{2} - 282308393528124648922924577056a + 70965943861729080885752469536 )x^{19} + (-78541584737024535654350967088a^{2} - 557469468158738542602450033784a - 243031390793469384269342424616 )x^{18} + (-239060722591338539329402605360a^{2} + 588539416340773121608335366144a - 101225916876531946926203856192 )x^{17} + (80167860578967574189965542368a^{2} - 33773016230569899694503414104a - 338791588386206795759143414416 )x^{16} + (123330242891583084897601150880a^{2} + 46782601248155095702433371328a + 134658809359509259524975517600 )x^{15} + (181027445377268292040938530032a^{2} - 303472524617093433952425364912a + 75110154463830979720545697504 )x^{14} + (-82386570211113433714259960576a^{2} + 10841179884811368891979018432a - 566028896717680843061733849488 )x^{13} + (-358966615579655076596421083808a^{2} - 478346755484795300045146833776a - 135400785803169756995703865024 )x^{12} + (289993542905573638803865644032a^{2} + 59654211125779235262844985856a + 89752583883600377303418140128 )x^{11} + (-61361478197373848330098438784a^{2} - 623032279585221294508412330720a - 509607481762974360088366572336 )x^{10} + (385297242492807448832841592944a^{2} - 45452646473284851131792395888a + 365732534320001152867469941184 )x^{9} + (369611159538556416780329937744a^{2} + 566765729317615632306243724096a - 30714486017842452423409909760 )x^{8} + (-171930408834578942680795338560a^{2} + 543071914108188304847226976416a - 631804394464685692555639665088 )x^{7} + (-458568959626690335647298993344a^{2} - 535901496050057361301504077472a + 457859526465883658516316728976 )x^{6} + (510099638337085903347797423840a^{2} + 413580144459689209584329600704a + 36037038603683381172386742592 )x^{5} + (-552795422427578855067769159696a^{2} - 25762470664204095838011786704a - 599485721229379162893550909088 )x^{4} + (530588043908499589791786565952a^{2} - 325700642060851523205863598144a + 449942106733889941824974586816 )x^{3} + (515746357239759723877550568080a^{2} + 13846527699513606072333377360a - 137463970589890273048477963104 )x^{2} + (457249885200996482270314688a^{2} + 71247342655520808718351949952a - 114498264831663160879406820000 )x - 610516818318449777552471281732a^{2} - 99895114544410164717687054176a + 479041950476033971849271688188 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary