← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.122182_655658_777324.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-155500732453633870608934420750a^{2} + 232221912598481700689968149922a - 54234395076368170843522834128)\mu_3 - 311001464907267741217868841500a^{2} - 169381474917151299368415302844a - 108468790152736341687045668258)b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (-2a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 2))c + (3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 + a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a - 2))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + 4))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (200243762655263772576953930064a^{2} - 497784396165827397206714702544a + 144073805044075259376490894608 )x^{47} + (-184116105306656967168408689376a^{2} - 258068279930157293787719155728a - 499346796431915878663678474968 )x^{46} + (554424514409111785200395467176a^{2} - 583885344769619012901297956720a - 503332504398834849644273985184 )x^{45} + (-504702010385348330258564283440a^{2} - 127596267668497290761401974316a - 201604038480984408091062101588 )x^{44} + (80577378532085422530984039280a^{2} + 57975136020206995194170561248a - 353380287737203690923450824720 )x^{43} + (590247657149572748069841636200a^{2} - 207230452099776952746129571696a - 414470094128334191266273840700 )x^{42} + (-426693319725903899234932008632a^{2} + 45061120911328039825557850976a - 68316419901700827855782694248 )x^{41} + (345262919251542070806935999012a^{2} - 521251424172028506985257433180a - 32776260849952593742630081828 )x^{40} + (510979365743578832437942059168a^{2} + 354647513066089995934049546288a - 194519842142379199725664089088 )x^{39} + (111779153310274483465677724000a^{2} - 374282017131517260414079364136a + 105108496433179365864204409984 )x^{38} + (-251212049816465478252657650200a^{2} - 485450562156618000791305741976a - 293372526866557401577629929984 )x^{37} + (-139873234973624884502725774248a^{2} - 587224277755354205603781029688a + 306466843915581608331195383880 )x^{36} + (143309725157306646124258748848a^{2} - 314702363156205136749811727760a - 542512777918401612553782399808 )x^{35} + (503505441571717484568821721736a^{2} - 555276868312696317196545625464a + 306173631569988787826027487424 )x^{34} + (-483013721918044491785683772368a^{2} - 177263878459624903638115050488a + 367573878581845089279308075488 )x^{33} + (79771146905262461374569208712a^{2} - 496069149931017723694654611280a + 173471911913795437861922066528 )x^{32} + (-632895056045633172861097504080a^{2} + 109923937780978334073040236624a - 271029688790814393940690729648 )x^{31} + (393714771429064012225325503240a^{2} - 215873502604613932032205181680a + 243473651558575985515491233456 )x^{30} + (509600676799154727464271926000a^{2} + 412975362855094493500511856960a + 377697250805642444666709603408 )x^{29} + (-463535117609930647058755196528a^{2} + 407366616579861446511607248376a - 396939716630281307504407285040 )x^{28} + (208073851839106209931120157280a^{2} - 545240953701436938060218186208a + 325030471856132321994006315264 )x^{27} + (563839387504014174792897114240a^{2} - 353261323695941750375531721528a + 134780291201928043267011601792 )x^{26} + (-572694198360031159222308272576a^{2} - 200708104230722929967121812848a - 3602499630792164903290970736 )x^{25} + (-596569495290928908338563662620a^{2} - 513602943707964806688751284452a + 503182636848972200422325703260 )x^{24} + (487228866193985494114229254016a^{2} + 363001892660674408645462066528a + 518366892808837982468237931072 )x^{23} + (-64087426755898087685835183232a^{2} + 67836442432371478676830777424a + 219961517965306596032076756320 )x^{22} + (304844500145593702647577320000a^{2} - 308429667921164930221966665968a + 191338094161663085255251585072 )x^{21} + (532609839122462605479765881656a^{2} + 189725538469286100454186091568a - 555220345048915106487616683992 )x^{20} + (-392466256317360420261538234048a^{2} - 2138142469931807133620339648a + 554756208263627790064232882464 )x^{19} + (480440600426289640126216289104a^{2} + 188310955420124306340133695320a - 106772768653476857390444517608 )x^{18} + (419329450203553652365381831408a^{2} - 173457853820171631861623484256a + 159383525445685903249627996640 )x^{17} + (379099398019096350434358715344a^{2} - 165849127054826981188628662104a - 131856813753437271152304474224 )x^{16} + (21542081289555386815026463264a^{2} - 348268397254584509554844696256a - 250639662402719409239568210016 )x^{15} + (-243363962893595720289931366800a^{2} + 72138405867664201933848809648a + 277121817691465761919086575936 )x^{14} + (283095918813481642078224938496a^{2} + 360280666287307493386156320832a + 524825339770586570154389936 )x^{13} + (129233353823688517070794010960a^{2} + 351378813638708812490977650224a - 405468252870663570552328796944 )x^{12} + (-303177610998787041092688460480a^{2} - 35950804120029074843205944960a + 290992341729381668175350434464 )x^{11} + (-443524122335092050863055167232a^{2} + 180651734854292900490651975072a + 166538724081154495427823116176 )x^{10} + (-89431182872077416985613921424a^{2} - 459114143829700925837059797008a - 61545509211601447714753660640 )x^{9} + (3250915500867713569790554640a^{2} + 569742132211788516622038336560a + 18676981069794580095126135792 )x^{8} + (544424433585101166722940939264a^{2} - 619276576423284552504655703136a - 545437185917753325454123424448 )x^{7} + (86901440908190386896658870464a^{2} - 462212606088807682469375666240a + 308370877343697417763728994960 )x^{6} + (118892000114941198825225299040a^{2} + 549032549426393086846949228800a + 525468678167115920590099936768 )x^{5} + (-190465573765580593856606617360a^{2} - 82776501966046730218181624048a + 160715277130462000571946012192 )x^{4} + (-56452359471507723734388715456a^{2} + 202744906713602039098792138432a + 374013840888344356253525164032 )x^{3} + (114413176793842045106339309936a^{2} + 494556070480883520131960268784a - 139446789161297746618573120512 )x^{2} + (-631133185706633650117283422176a^{2} + 560096483955233773645387716736a - 53114584466765550803685620832 )x - 28794486313439347926832894468a^{2} - 49439973569899280942300564560a - 149795806216865463287863206500 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary