← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-193669606299212316785527027736a^{2} + 553226596325275955865560373960a - 444878312620588205089075889192 )x^{46} + (-118207850374489045815853443352a^{2} - 265112713828527924899967827192a - 292124388944335801204272605984 )x^{45} + (-118737196915121703221738585432a^{2} + 253088813270759813243505178220a - 589507284679467924209019878228 )x^{44} + (-215608092577929369620066887104a^{2} - 38862113664535880736442073760a + 300541988721704656422416854408 )x^{43} + (-110551227800341584431207563288a^{2} + 151555165446155203375147019936a + 171523445091661940853590150404 )x^{42} + (-10835753090302942378328307936a^{2} - 471826300244093412783933230400a - 400129695309681540652861148536 )x^{41} + (291464962558354646187243477404a^{2} + 550763752970985062229906450308a + 577974281791688722309136003376 )x^{40} + (76480530503862786269076050000a^{2} + 69530361525114376701626311120a + 583303877417258884670735038912 )x^{39} + (559890861983232369791034020496a^{2} + 31780602152947281992254251440a + 4598008233014224246977960540 )x^{38} + (-406913930905821261068172597968a^{2} - 374324966223613986441423894264a - 432601417403621955920834841768 )x^{37} + (128919740398481738984474804136a^{2} + 3511556212965227537646841688a - 388294532235043352278100888016 )x^{36} + (-190013881788496540245634339104a^{2} + 431101929645521620487907982960a + 226506483479017279516196800096 )x^{35} + (205025922223279012073597212100a^{2} - 585772372046759590462057161220a - 601660553284790002217343092848 )x^{34} + (407691424718874446238150168a^{2} + 93002247934006513762060807544a - 321705830250619564961975313856 )x^{33} + (224901080885099875542253051510a^{2} - 138671579064036040192092219726a + 522279811922912102473531631704 )x^{32} + (-203572616277696527118905368512a^{2} + 528530777464046366468763757824a + 576418919643677451917563409952 )x^{31} + (377934282477504265927699565216a^{2} + 495728518320119545321537035984a + 380578791327949723087042813912 )x^{30} + (593341761906616165385658224024a^{2} + 617938619733151366007396359736a - 60577720625975091551402104496 )x^{29} + (527411878811597607756236365456a^{2} + 274356612979394161903151260876a - 471737882878183366567742471080 )x^{28} + (472702795420298590056320275856a^{2} - 353728576687660575793272642544a + 139947748407259252529362403488 )x^{27} + (536275224824122490724934692408a^{2} - 331572035093605261228505589536a - 548138440864729742015189576056 )x^{26} + (9647412357383077934001044704a^{2} + 408576241217408325986190151320a + 124737250982180976821994128368 )x^{25} + (79656452004464315081358882244a^{2} - 617650561841261159190041623040a - 249984333334513613704345891500 )x^{24} + (215011744180447257543538810720a^{2} + 181170472152412437794005830752a + 376041702245188639832521335104 )x^{23} + (56469163535344952818255583904a^{2} - 306008986230242906360609245536a - 594958516620962755310163023216 )x^{22} + (384835592865513768873253154864a^{2} + 295792985376282209090814820592a + 477561106663488706683617869424 )x^{21} + (436017780417413500075036440672a^{2} + 355467397185193259073242822336a + 602270502466505839915611495352 )x^{20} + (152855153877868679802883424304a^{2} - 55979770249736133582612596272a - 169097185225211237333379982256 )x^{19} + (575766889609696733059529984392a^{2} - 44501025623467097625882785264a + 98702071361375669182173163128 )x^{18} + (481284949866813320768730996816a^{2} + 285775796482519215185329710016a - 558478648671605334293522992976 )x^{17} + (-249004828550846294133132104608a^{2} + 61922381207618040868737971804a + 203204986166170310189144422296 )x^{16} + (100387992668293463157444078464a^{2} - 373320564562794047937794417504a + 509309612354905905075911309408 )x^{15} + (497937121820172995585849331200a^{2} + 17198217835386230546367651216a + 131595529239129745363994960768 )x^{14} + (335122108164370804070795197728a^{2} - 154559601200392573907441735184a + 42594206081970752531299878304 )x^{13} + (9341084442315650615778300072a^{2} + 447172760551684295784832549512a - 45358294348144252631076656520 )x^{12} + (-511360208389870617046898463872a^{2} - 444048170506327108295547074624a + 500844221752726033466653525152 )x^{11} + (-439561138064978353093978216264a^{2} - 249913421683471646065590730176a + 127752032911666087285112272832 )x^{10} + (-566450888087221657985566200032a^{2} + 278864319175436083157523496784a - 253702243086469339919373635792 )x^{9} + (143504622580874770959064536116a^{2} + 291613954152473145648042472568a + 431569765607180348736400405960 )x^{8} + (-607102574743587524878132855296a^{2} + 473194234889146930623357702336a + 358423179725924425783468942528 )x^{7} + (175233451511785933999768758656a^{2} - 405461678514403481103571252144a - 315042355742562746760817704080 )x^{6} + (440017478043580325563581248a^{2} - 36368535015113843938543337152a + 102028309081737012755107485184 )x^{5} + (619476157975335337081795581704a^{2} + 365253552096445647720943407504a - 27730861315646544427947549752 )x^{4} + (-456913628193064119061799643072a^{2} + 576427450531381603435181958976a + 501529331472340050020884982400 )x^{3} + (78144104294502876416280613728a^{2} + 337622892487236231482587843216a + 397416476592526103598549860864 )x^{2} + (-254319785913818893945715296656a^{2} + 201505401516490290388075807424a + 263529796468175645362457201808 )x - 227496084677460191451900171456a^{2} - 306407382162788953061049972260a - 536110098719715487618059620604 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary