← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (356180559893152170858763054816a^{2} + 275401957349773337634696313152a - 301801349730014009559241587200 )x^{46} + (9021513001060823373952890440a^{2} + 567490477446158079067441415352a + 620501101282236754164061431424 )x^{45} + (325377787259456734832480470152a^{2} + 106144709847141082946531908260a - 399779426003760398833340954188 )x^{44} + (-29723024301172614251502621936a^{2} + 543371079485335235855930328528a + 606518676386751710535562817496 )x^{43} + (-350683639108708551107462900376a^{2} + 239142927526033593116904997160a - 353060564014607717922128004564 )x^{42} + (-448316331014714263131888714528a^{2} + 33135563245193315439747041416a + 378726856279416906186447678216 )x^{41} + (-148040660945298410986800463084a^{2} + 20119644251734852066385641272a + 165386157889679391901793756376 )x^{40} + (184654428983650199526232309808a^{2} - 184613587962823603149643178480a + 479797188211204307891631818912 )x^{39} + (-117173131692145211082318196992a^{2} + 526549212022880626383405926928a + 122367758775334916999061473900 )x^{38} + (19651520313676864034933704816a^{2} - 620129811168308445908837303624a - 572349008059899865377499333176 )x^{37} + (-121871024492989720908112333096a^{2} + 539355492617411440017104635584a + 199321450941403722491267673744 )x^{36} + (264104225579329159724561485728a^{2} - 423372110862421365732802689520a + 47732304410040479010987555072 )x^{35} + (301878406717129276267635852068a^{2} + 33653639840074443437888997268a + 605736269092881197679834783080 )x^{34} + (-401945441866024051527439122312a^{2} - 359585612235951084197007065816a - 121622517154802913668658243840 )x^{33} + (565741174340576607692376140158a^{2} - 557187912010503360344187922610a + 503697597304577619409165054332 )x^{32} + (-415488493769772912814058106208a^{2} + 305385155113316520960189144864a - 491804317795882117432388509568 )x^{31} + (-271690658991464135592547648000a^{2} - 163650818645853479305691458464a - 472470001860663944664621409032 )x^{30} + (-347697322045626673896259500680a^{2} - 473443516927486823013101581288a - 264547973268221398263726709904 )x^{29} + (256836278255806342900304285688a^{2} - 161395517649200457754169253548a - 611377807756863253606913111760 )x^{28} + (-144761098451754115828004528656a^{2} - 24352651801724842678853465040a - 296443710855569835445886590656 )x^{27} + (-368659407665253425514906481144a^{2} - 88295561936500054428670112992a + 322337247684975202449590169128 )x^{26} + (383314156896276156212162019360a^{2} - 398410193909211353014948461000a + 353124328653775376700512714992 )x^{25} + (313177274864487130574019871076a^{2} + 329922220823658115817400881888a - 292502373950285896497873941660 )x^{24} + (500579377860226019562540996832a^{2} - 437721703660030285918184012960a + 48434821101773990795489999456 )x^{23} + (-488630585568412564961021347120a^{2} - 132107519072463019957840230192a - 313721888161513033610022405232 )x^{22} + (-36207350200934081222765426096a^{2} - 278741077168753179860755439504a + 256914678677264286671690970448 )x^{21} + (584132121924637115306608915656a^{2} - 424149125953462662764227823776a + 255387977754969550554151163064 )x^{20} + (-506678722201534614013234510704a^{2} + 222517096808627755801818524944a + 389800445422330007754404094192 )x^{19} + (-239366905736329864212571273144a^{2} - 303803105932980380093357206096a + 262756196818518232172599461704 )x^{18} + (-334149721544384951390509197552a^{2} - 45479712392968366597446802112a - 400385675283707243697657748048 )x^{17} + (-272523367736200816826462466968a^{2} - 592743009988957676610129369748a + 188342778004435325750631800560 )x^{16} + (194400837284550036336034286528a^{2} - 400390751189840761012797500256a + 20606412080940448947053704736 )x^{15} + (-48333761840778195704052062528a^{2} + 248006382871583816501640675760a - 477008816868700583076813245632 )x^{14} + (-546602140990482347555408176608a^{2} + 167933268483797650812582339696a + 388089847898961049142274708896 )x^{13} + (-332141713834560125158187018744a^{2} + 125442061836588872143093143384a + 492954497022895609753846520312 )x^{12} + (-357609377154837487943626536480a^{2} + 449030326907979133583038250240a - 527564760238756082284337156416 )x^{11} + (-13814602776171780109209891688a^{2} - 202778070824483391041807080480a + 9743302108327964193353512128 )x^{10} + (290226775726413205627026713184a^{2} - 536444625697826286124127831696a + 174274283671564661205141672048 )x^{9} + (-474889524688305460532349970012a^{2} - 166227380040680953899516387000a - 569105685958807377614174354312 )x^{8} + (54309647673187770319725295040a^{2} + 124207870472036638114309097792a - 485014055457652930606578760448 )x^{7} + (297035414433178241519487233312a^{2} - 201520837333855337974244164528a - 65177980417707364661375816560 )x^{6} + (366832558108543265699410709376a^{2} + 368743073443247830977242495712a - 320487286141776496602181850496 )x^{5} + (-314552080380774495184428852232a^{2} + 229108310735619178899681433520a + 8273791946276749368007121224 )x^{4} + (30006897433057578731971907264a^{2} - 126469978137266880173731517056a - 212366735699155723416068135616 )x^{3} + (-458731813418928637506564949504a^{2} - 478736585664857670529455100400a - 233623033624148030902343656880 )x^{2} + (-504256936584643813667033387888a^{2} + 624607932287500475156875368416a + 374713999613726004864893699056 )x - 100477636320503180262467750032a^{2} - 576777899175871859271045965716a + 144940560835806037288143694052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary