← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-175879877270498580773299442248a^{2} + 467475519303846987502484117232a + 273822756898504378885019774128 )x^{46} + (12559223452024009486393171448a^{2} + 267383613084022449255250896552a - 474656393569376367818184984944 )x^{45} + (153633037884465778907747811056a^{2} + 97218694521064068292786212508a - 397242073995804034824456339420 )x^{44} + (-499010288685907647794686405344a^{2} - 399275261054590642831786346800a - 436299620238756942538050292584 )x^{43} + (-287934566849389444128678200912a^{2} - 192582367205180491762870473880a + 345136051758301269236824848828 )x^{42} + (-128583377275785662752007697336a^{2} + 118238801063722858447362619800a - 11499380465437860646962944856 )x^{41} + (-250447056068024503303172681272a^{2} + 516588637324245784942628487556a + 231673965717472841980393271736 )x^{40} + (-467875228989222361715745560432a^{2} + 160010716088536485631599753776a + 360691869434129552083562914112 )x^{39} + (-65574666752576690559235312384a^{2} + 331179442390231944486917629760a + 34855014153446525289188923708 )x^{38} + (237779493810755654916522579280a^{2} - 571132488820279376994700997256a + 394624946712358399426037097256 )x^{37} + (-51569671490556943021683136664a^{2} + 576007866202087188940933147456a - 332680439286368553966347570048 )x^{36} + (-230986720473412558051397016128a^{2} + 339931859192642796286894936304a - 52868784847844559126030805632 )x^{35} + (-341835473644994683477633036340a^{2} - 76748694251082425013039335444a - 280421154092449627906234644496 )x^{34} + (457398371727474242670003991992a^{2} + 283210599334698975526006423736a - 403671486773987057519825913312 )x^{33} + (-275132090385259280127560968630a^{2} - 523441170172536529138714284990a + 356841892111603678371137986736 )x^{32} + (77119170028710880203165792128a^{2} - 156864148757659477377781232704a - 5591731816571353532122388480 )x^{31} + (429449159909867265603871854128a^{2} + 507430677394205920269395876112a + 621409760188358909529826328248 )x^{30} + (175216550669596220413492154904a^{2} - 481085064565919869218894624552a - 255640659426852708675808665968 )x^{29} + (-98627557895574222214385446464a^{2} - 199617473908293274948512078012a + 133044742502958356126611617304 )x^{28} + (-601057152411220287219199044976a^{2} - 224181653857105746416111301872a - 170230793564484703285793342624 )x^{27} + (-453880448470305137673267610392a^{2} - 411077364368398251617869563024a - 323052661686894983231473741960 )x^{26} + (326022667341272814509424829120a^{2} + 607685477192778272159258344184a + 528895073282838191890136725712 )x^{25} + (370175546669553746043272045604a^{2} + 321388072190911798970573043856a + 493546777741865967447933758172 )x^{24} + (-316727442907875700132105512000a^{2} - 591542518848677298164829291808a - 458937977480216845156875125472 )x^{23} + (296293448061357522786477664848a^{2} - 511141604238078509159290529712a - 152306729737672105873893294800 )x^{22} + (-88658816652914417100996568176a^{2} + 156483006799274551613194268112a + 223249378656819919534802733264 )x^{21} + (333706705593481885872309306368a^{2} + 321149202633354622465476125816a + 236620351218813032347076668656 )x^{20} + (-482840595934666581057916594192a^{2} + 403026336561691123345009655312a + 383601923500221372473916264368 )x^{19} + (27174383013534009116373047000a^{2} + 455506000750799084158741471056a + 541748279516734956574847002648 )x^{18} + (561728157505706880832886819248a^{2} + 319184628483417212363780504288a + 371435133376150990655613562288 )x^{17} + (221395479699365107236947709312a^{2} - 8527236840734201724024538100a - 16558869292814690647420678752 )x^{16} + (-225772261584960945071106365696a^{2} - 593975719873000192640798903456a + 184061191826649735522873289888 )x^{15} + (580917206822137274381513816224a^{2} - 606498337736723834539686862928a + 334779234544421954918671017760 )x^{14} + (378324830978410119461278069024a^{2} + 173273391135458625650847942608a + 492553973499048662523029442080 )x^{13} + (443021252754485039218360405864a^{2} + 363429742457842840380793090024a - 571799186873630642855203431240 )x^{12} + (171511703883417083495194986304a^{2} - 13794905034042387215742111680a + 563987575059323796391816545088 )x^{11} + (-558260419362486056492064927368a^{2} - 341297391935379532966618080352a - 201875798850123592227448191008 )x^{10} + (74935105951500949552180226752a^{2} - 590727351258038435305317521616a - 32047928568225332358853378096 )x^{9} + (-302934203961301280389571924956a^{2} + 156148413814664644476723527976a - 354793221701907920420410541736 )x^{8} + (303757673221009681880210757440a^{2} - 450846124626836896550717118784a - 304909537205206678465595938304 )x^{7} + (500967760817083117252454570816a^{2} - 469377782725954529093036877904a - 591360684971339496234819054160 )x^{6} + (478035390602346347337048980160a^{2} - 377118351376053377639229910208a - 223970412527303986522751256352 )x^{5} + (292967748855134124160290965928a^{2} + 7604756549104356962091554912a - 243401025610159457926644309128 )x^{4} + (-194176463141835144433686690112a^{2} + 585013028763606150661505880000a + 157471628990922723399188698880 )x^{3} + (204782204061047005106304484128a^{2} - 308840753087663277013159681728a - 609323946923875603398709563344 )x^{2} + (499513729051045287523603546576a^{2} + 308741235728187168985213379744a + 611385212601737878101779329488 )x - 168850635322637643510869025312a^{2} - 25020349718016766834764581556a - 331137525790427532567445031068 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary