← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-577090856827835072985075550720a^{2} - 487019269522193478790417127048a - 175688206400906347345246633672 )x^{46} + (378914678840268476144034581400a^{2} - 369225368669708105744311027816a - 410752101261540137060597278704 )x^{45} + (244593575395748311840386044848a^{2} + 423258455959197887328227692260a - 192903664627313932335360621940 )x^{44} + (-234321561123537114688983901168a^{2} - 520125741646523190727267807968a + 66835828213134954578955012840 )x^{43} + (94757518253168113706306809648a^{2} - 472993547574528735332097297424a - 332880118450920289169801098028 )x^{42} + (-316822188727416548149200587112a^{2} - 580074064043947426138567566272a + 212226632858738535284808923288 )x^{41} + (278538607792756629067724882784a^{2} - 191686375931411601298050573744a - 461119361810348361002562378584 )x^{40} + (-449548933033760602978184233104a^{2} - 14934156405664102050178890320a - 415036140950493641720469185888 )x^{39} + (-377857973497597017439410174992a^{2} - 178719406919356467405449409248a + 294697156908056878271955076172 )x^{38} + (222759713039410937136624034544a^{2} + 538847643429137144065154624360a - 505631233444882119610308954696 )x^{37} + (390188978939180321093594622360a^{2} + 65796694555869774013769030056a - 446999102162503114331402455024 )x^{36} + (-561292630779511322547830959392a^{2} - 101735756351950348993134288592a + 50538484882958160139555289856 )x^{35} + (48630395263348127058129647020a^{2} + 357012165863997054783790042372a - 130558110282037351300589935912 )x^{34} + (166895010919532931861140370456a^{2} - 494330302270690905918331987928a - 479862327451475703993759323040 )x^{33} + (-266520257319438363725241996542a^{2} - 203107422423534464582013672306a + 195072485773304844087713586884 )x^{32} + (587428719271083439958816578336a^{2} + 590578674827779033092834205920a + 542668877338534062440514096032 )x^{31} + (-349268086846501572254337397584a^{2} + 399312294603682193332005191232a + 10060244237144639953379806776 )x^{30} + (463761951076988184174534607992a^{2} + 522577330567299591881963137720a - 151072803017038864333490987216 )x^{29} + (347609560543237237744123080808a^{2} - 20694305876341461923864661284a + 481291044687485077211321235744 )x^{28} + (169968541317416353107560913136a^{2} + 384668794495580595285355788144a - 629428748611155122845631352640 )x^{27} + (374417621491532664064883641688a^{2} + 292578026351960398406830038768a + 348719364282348011215572149656 )x^{26} + (-322851113476017718809266172896a^{2} + 473808793391766013811350449592a + 271175746056700671812948783216 )x^{25} + (500304810070166349842642170964a^{2} - 601223231477592433710728259120a - 561251674602788592244727374964 )x^{24} + (536035525823445199005010531520a^{2} + 214033135378928776550170796384a + 370874592013275082068883262400 )x^{23} + (-134864065564630595121566139360a^{2} - 566488940260909547277227786944a - 375786349466267796066888087696 )x^{22} + (412704736808855963712522556720a^{2} - 541263884902702180946674752368a - 159433778022371804292450821712 )x^{21} + (-105949574831803832557955529624a^{2} + 309472799669488045053532157384a - 272716159211117540779012155808 )x^{20} + (348283293861080588908343701520a^{2} - 475155850950031128558414787312a + 479717642210207980455118486416 )x^{19} + (584100128944712120316088680696a^{2} - 420734647875458096465859018480a + 36544187681577915075031608520 )x^{18} + (-79594003766610632356215219952a^{2} + 631149471823834846444159695968a - 148038651090704176921197253456 )x^{17} + (-493586361479615763996107822200a^{2} - 371550283600472066664623871972a + 97269257964124651951695867144 )x^{16} + (-455206404835388937782451057088a^{2} - 565341557753077544243315089568a + 138787339388548695532762653280 )x^{15} + (535915639744602550286534545312a^{2} + 554748469919164342368439523984a - 515539673639694303383801637408 )x^{14} + (-59740867500783002677259456416a^{2} + 438581510667501311980040780560a - 402882002787543630429981901280 )x^{13} + (140972132870491909109004194152a^{2} - 509081703175519570384439525320a + 6110035773521795568093961528 )x^{12} + (491725821626554183077088710176a^{2} + 161398515767836537890435491328a + 589264288607011807505263966624 )x^{11} + (-63898499603844832838758105320a^{2} - 574498751867561520900682292288a - 50156478399725792106672584896 )x^{10} + (-60531092050236055786697509376a^{2} - 461869510041603075384637712496a + 131204035319163928542742275792 )x^{9} + (-59509498570881992980120110668a^{2} - 229574194040917556076400219592a - 378308099126078367434034637528 )x^{8} + (391527375902363642148253920256a^{2} + 624187605706417932678461325504a - 148805738166858794675370030912 )x^{7} + (255417902053844898700687563040a^{2} + 282104315702317963014090829552a - 410080520100227735812540610288 )x^{6} + (-344362028445398288649755478720a^{2} + 364750073815798680361090876960a + 265679903800672369601339848672 )x^{5} + (-209289573390472154342075869704a^{2} - 183131719853102920540327822432a + 390611372294344012157061759192 )x^{4} + (-240441552587637701902873350720a^{2} + 454483194345286732751358127104a + 146591964884485530702304866240 )x^{3} + (-599115974994808942904758772768a^{2} + 235902866111639991127247535712a + 42636570129950526961099797664 )x^{2} + (-597744304303879582175263941264a^{2} + 131276214685598287882437863616a - 513253257761705662606404550288 )x - 67834640699208742228475781488a^{2} - 193326467392221011901825794532a + 187306147255553074588778342244 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary