← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-546472874033343054497478524240a^{2} - 534142442325685608225166586208a - 568727740241632533647775647944 )x^{46} + (557593344418873733593516983976a^{2} - 131623907627697744722075544600a - 197853268103106920188230055376 )x^{45} + (33059569285475381077722132008a^{2} + 360538439772550090018631980756a - 289886183064016130319600805108 )x^{44} + (-35720038157923915457329905648a^{2} - 154513670303383103541302247888a - 354405274371758465138621433688 )x^{43} + (-472478201801154148080665456808a^{2} - 513410460170354494214093651688a - 424822455288689590630249449076 )x^{42} + (450116850607485534918954536392a^{2} + 496613064647844593816525472528a + 144732880020308163348578233888 )x^{41} + (259329542733868308496858032376a^{2} - 288554240791136598124124559964a - 503387810601363721645479414920 )x^{40} + (21715146004175874622619332240a^{2} + 80194476365771815354617930064a + 104854542046608717981498399264 )x^{39} + (-562113291007673743337392244624a^{2} - 145697144597366189514243997968a + 217305059223064313624844570124 )x^{38} + (-622842776505997422443164864880a^{2} + 39648702897034464745029135240a + 165274696894603777725989700360 )x^{37} + (306519285527486866131479405536a^{2} + 130458548480206052968233779232a + 526246695516809870747944240408 )x^{36} + (-569971547121058447048592437728a^{2} - 306659581713701924701840180304a + 344421394661400234101606438944 )x^{35} + (214605003487119349219080789516a^{2} - 465775281939628787975496696516a + 252754445117003199795628162872 )x^{34} + (343183651127828776220167049544a^{2} - 216883211440536642045345435336a + 525905674486821731305071574336 )x^{33} + (-134438866792118656802984058518a^{2} - 314096627198285368193387552878a + 374668418922884829530516660188 )x^{32} + (147539262461826558435996375360a^{2} + 447249286280648517362974040832a - 406456054071772334673665199040 )x^{31} + (267778424381342629459984338992a^{2} - 593646547187007367742468606992a - 569233593003375905391460885128 )x^{30} + (331737836651993052980305895992a^{2} + 355041511133821748206864343736a + 570795442981423141274786368720 )x^{29} + (355024431473254474595677760896a^{2} + 435788677618292114530101642612a + 411802650120689123067675088176 )x^{28} + (510042591393763085725896824528a^{2} - 139470359106205424711538922992a + 55933179995148770506657325024 )x^{27} + (-437684038183062328630402170696a^{2} + 439458554621853030199352640304a + 530346163493272169406842627064 )x^{26} + (125538063469144312151604841760a^{2} - 45068027580877630624311601384a + 184636210452784391806263601168 )x^{25} + (40590385910469551464843638388a^{2} - 125141140549923817955595790784a - 358090272538490282002287274676 )x^{24} + (364704256191294166264778868384a^{2} + 625191314753857767548473910528a - 155673261728266620624598710048 )x^{23} + (125666371840021846081927787104a^{2} + 303636236637471345697993563952a + 245942404926967434435231381488 )x^{22} + (325525487077176058672480887920a^{2} + 366227271796913003071410014896a + 392241506044337698893190228048 )x^{21} + (141171071393877253113128585328a^{2} + 596314355410537814287087023272a - 156893426964358497184586274176 )x^{20} + (-76156800093132897030952633456a^{2} + 24464233676362298152646671312a - 338139682543895697739951270672 )x^{19} + (-440448959165704306472222518248a^{2} + 600805193431449610007677170640a + 169116715867851960948581878056 )x^{18} + (187494245405601278756031864496a^{2} + 346449298336463991739740233568a - 508248438526266274261610167280 )x^{17} + (-369023775111181841528384939568a^{2} - 505295806432384718289760486948a + 108971288139052566858090021312 )x^{16} + (360153797681814582836081862080a^{2} - 143297919770582983851080739424a - 361455131233914536984960085600 )x^{15} + (-361774631541898797005081461056a^{2} - 88061706338416894289620863888a - 62427023675831508424315287872 )x^{14} + (394154877002296677831798146048a^{2} + 343066824099772156843737978320a - 78577940777796670043965626336 )x^{13} + (568492973022145019522861111112a^{2} + 77613332495495565932455637336a + 471565198580858598112216127832 )x^{12} + (-339866582969691037213404260416a^{2} + 370641268834993027919676706496a - 309053599319567403107364076352 )x^{11} + (450775750009215715195767738200a^{2} - 100510848323772129186016556960a + 507218064834050892229871716928 )x^{10} + (-421705406784771564240927999424a^{2} + 542233403532848027646735584336a - 350754943450892217326853025808 )x^{9} + (565294647531525705503806087060a^{2} + 100870842929461486098188066184a - 500363416751717186876169596792 )x^{8} + (-134641267403359744946769981120a^{2} - 268155522647275932009276435456a - 108831942987182544296774380928 )x^{7} + (-296038902293217371590173567104a^{2} - 187111986408582903435764419056a + 15486182580249517607330778064 )x^{6} + (362087414164104778643730258976a^{2} - 123350330807814479752304978272a + 578037254704896628788911244672 )x^{5} + (379417812961829542095107579880a^{2} - 117064450816126213477880476528a - 129073863530495565609210423224 )x^{4} + (494488264747915001780685903616a^{2} + 26443883679791381935651640640a - 310018644299157669634942448064 )x^{3} + (-503940121730698281203684354448a^{2} - 630603146572261929814028804960a + 133277872218661438829405921616 )x^{2} + (-380300007749573606196018412880a^{2} + 557616978350132087874115887264a + 374067469915600924515721495312 )x + 390318258962309185075321070048a^{2} - 565643113075086005651477221300a - 627622348713682685530344128252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary