← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-112857181100696550662305659448a^{2} - 172620012061268669491276575176a - 627039752829138030446167076912 )x^{46} + (222225384367837827041146334472a^{2} - 95467859508690414542460926152a - 623437868375356932917267019984 )x^{45} + (464021066357941397229077565304a^{2} + 487838728934175872760501291404a + 431206318127638685055271668276 )x^{44} + (167614734524798734833686516384a^{2} + 590611348453357110516565431712a + 82131128837601658601214544536 )x^{43} + (38083334687829074403956548312a^{2} + 484287755141645088427581290336a + 40933796917017913425586877940 )x^{42} + (310657702658888337894543187560a^{2} + 437391645638791774862896837336a - 83580816385569291137785513232 )x^{41} + (489238311387953119976230589472a^{2} + 627241715195154989468663050080a - 374200528883609520547362537120 )x^{40} + (272322042470691245658215533616a^{2} + 395922192571755437056899621776a + 169863652489435706563752496064 )x^{39} + (164067962094998655576965155136a^{2} + 202385918523168169715245692560a + 389444856593531342396737474972 )x^{38} + (-444401298853721941630210324816a^{2} + 142935990524518074789083662360a + 224120255615259211213348999640 )x^{37} + (-304412031862122717816164947504a^{2} - 510692790853087198515680153896a + 386979118740519157459011316424 )x^{36} + (103216298484955485579278963232a^{2} - 78292828064754593954068623792a + 575761161347043523544972072032 )x^{35} + (459106453134623363424774882380a^{2} - 226536217653563251054470421740a - 419746979670761037072339838576 )x^{34} + (395267270774787568618801363208a^{2} + 35035038650301129404270314856a + 457664796561236569596427234944 )x^{33} + (-88323746613141324355438689622a^{2} + 85823143828874531729105194254a + 592271204672006138937335110840 )x^{32} + (144815782101246708694853508576a^{2} - 522375820955115918957167761248a + 364989506583833751366791326944 )x^{31} + (352501417922202310999879835184a^{2} + 531077601453864274170055413376a + 480739089850318705426449495160 )x^{30} + (374475850710966946749837092568a^{2} + 512018457284720540519064328024a + 401128582242264534801275225392 )x^{29} + (-623261504802664563013895041192a^{2} + 123335460813421302058785000140a + 418516115943723247766577348936 )x^{28} + (-612377360606678062118902446608a^{2} + 425357075974357373475970712944a + 170609530808235575121401263552 )x^{27} + (305093633416622080043740145928a^{2} - 220684949165676110327863041200a - 52883446919136973480256273384 )x^{26} + (165200150579790916693109161056a^{2} - 58113692166142635927781025000a + 202923037489722789217251804944 )x^{25} + (130313316150068267495736580676a^{2} + 4941526689701754038363608272a + 207265246380240213822699455836 )x^{24} + (-138608383479585770332085482336a^{2} - 544278512405533980253252166848a + 367432878162398737854158245184 )x^{23} + (-88874529799394681627914893040a^{2} - 533176650847943423096024206400a + 541152892126425041238679966448 )x^{22} + (-364384471877379644250358883440a^{2} + 137974116668521484132286718448a + 526776017186324777629327533168 )x^{21} + (-156502272185683146424201431944a^{2} + 384240857956523391957097712856a + 207748138547279451206658384528 )x^{20} + (-371692693229766275343180956304a^{2} + 76211497866564998020060622928a + 357026736633281138551196827728 )x^{19} + (-11312920524482653508954064744a^{2} + 287324947857376075604054056720a + 499997665995171616416467353912 )x^{18} + (520402708285845772843877939824a^{2} - 478027229235541570320217799968a - 519317122586458650081458108304 )x^{17} + (-358867001070070797297532194248a^{2} - 326085416882146007232526317348a - 527226551074466777690409767784 )x^{16} + (10247002852504253784657801216a^{2} - 399150399540156104877856115040a + 207636886935048955508550776544 )x^{15} + (441381521018581680608449085056a^{2} + 316275217467807899351715193296a - 455065167444050756828617237440 )x^{14} + (-218339522461171563302268168576a^{2} - 46770210922953927267054476400a + 17548682903100497461064499424 )x^{13} + (-43487200913116306952968335000a^{2} + 232377118920644746966357605736a - 472265600931556864224319981320 )x^{12} + (-324740116518272986834723228000a^{2} + 339217708270398918748030963712a - 272687825312730163177790713696 )x^{11} + (392837093054202795810713136152a^{2} - 142571129838876052126513777280a + 67495312149537257983793040736 )x^{10} + (391921023536426205616654995520a^{2} - 230437334648472070786308346704a + 287200864930763810022767135984 )x^{9} + (-523697875312066700383872505436a^{2} - 26307989818174417323494441672a - 390266949364164790128702403240 )x^{8} + (-207273103159898062863058261504a^{2} - 481233210343247494761544902912a + 460452006274650504745149598784 )x^{7} + (-1978934118584789679016658208a^{2} - 396629541416550350989229612912a + 69063394364891230445069404464 )x^{6} + (325627409792641842135519084960a^{2} + 333544020272366573575872864960a + 113562550246964601675798027456 )x^{5} + (247270441828568476408692733208a^{2} + 362822869746898476027326243184a - 286924070678370896626453351160 )x^{4} + (-576461505595654615761515548928a^{2} + 267948607271738593160458510080a + 15778428230015122363250827904 )x^{3} + (-76874475134481241659053527760a^{2} + 610297509177465646318522903008a + 160145211403840322081385823616 )x^{2} + (505653665199416131783815201040a^{2} + 608513916227704488666767243776a + 514162530938540379194315272944 )x + 115216914842886359656782670000a^{2} - 72449868402745842402561239332a - 602658013111080025703026802172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary