← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-596555148134014076619909840832a^{2} + 296144552947384790670948365480a + 335075480856752392607520624560 )x^{46} + (-337354488043044934485185369224a^{2} - 433853294742135361798843753464a + 510025829602349687101078793760 )x^{45} + (-158476497542832566297488784592a^{2} + 397802712115476958368471204420a - 405345204665892405535846607308 )x^{44} + (-522754757952154131043413042832a^{2} + 2123685095937086286237137056a - 158276784475272802404707402568 )x^{43} + (105210623271461143717092730192a^{2} - 570913684931213791588916280896a - 204958585051491311831615862620 )x^{42} + (-147501283980777151263676170336a^{2} + 320621713437756299676328773176a - 62550243613252674402633983472 )x^{41} + (-86063132634232645991648873572a^{2} + 212338097333260095064539228492a + 189180528267811672702060335408 )x^{40} + (198434119739279664264261006480a^{2} - 242334242581125648106579376848a - 225043720617290233265298540832 )x^{39} + (37187236474069716488128844608a^{2} - 628768792656465350212276550048a + 598761395952691445714853135020 )x^{38} + (-446036214503328330180361614512a^{2} - 561600098640402091331960247880a - 235009632984844692676455421384 )x^{37} + (376483797819935199868347508992a^{2} - 320898174159527392884924725416a - 16008831545303950281728916376 )x^{36} + (-85729759799793050279968042272a^{2} + 337718914504350341103104728464a + 358596902145435668913073548320 )x^{35} + (454197674255934756461965083988a^{2} - 145573978074038859526066698676a - 66545809822726481921427656824 )x^{34} + (259455663257141112379403777544a^{2} + 272870598071708848534248508856a + 535179207559917211311664080352 )x^{33} + (-149741080879865282370249503106a^{2} - 545528001820898324751501487494a + 158805830885137561202129621812 )x^{32} + (-590230768984831557700123988736a^{2} + 231262128658440772965922582080a - 612995311324102212287004577824 )x^{31} + (-16435864869607831866055086112a^{2} - 365129200244809164593462009904a + 190307521036987704687054035064 )x^{30} + (111139009237241550659807605496a^{2} - 351863555167404944823024400680a + 141830760417717050878379686096 )x^{29} + (-146356203644933565563001920992a^{2} - 105881790673927645757022605620a + 193843690909331217242803384496 )x^{28} + (-305064380656424519717569834800a^{2} - 230674919675645047360520729200a + 619674618515761115231187529504 )x^{27} + (-236776287943028478936578704632a^{2} - 555153491694420796082810603360a + 33585114813506548405618340648 )x^{26} + (183515980898108135647882165408a^{2} + 209513650771716528643862075128a - 137321091789758029201357810992 )x^{25} + (616710769055326877371239895108a^{2} + 15000314170745566241759836496a + 373845842271356499717879105700 )x^{24} + (210497157177295403152193767360a^{2} - 242573406394766806924121590464a - 352828671275242073286987324288 )x^{23} + (-304367130717283623958363844624a^{2} - 321408116631408048183936595168a - 7518358303272437818343187344 )x^{22} + (16787581722873845973746202960a^{2} - 406203402600048063943540596336a - 280737058445621100473429125328 )x^{21} + (592879619908834828801104254800a^{2} + 452983644246349697384557270288a + 16702912422917426524459374440 )x^{20} + (138723034530350789393518302352a^{2} + 139722002766870794517811280a + 567097750229046289519317655760 )x^{19} + (-46823804834540359530770082744a^{2} + 195541207543393058859467310768a + 121836514976976912601433025800 )x^{18} + (-59010523634177824094624778416a^{2} - 366106874171434747227215616672a - 548077102102276634203335874928 )x^{17} + (-523280524699223538518420823648a^{2} + 599534679213949831187757571708a - 241195059621532440117431928040 )x^{16} + (-49928035172602469005596418112a^{2} + 604191691212279785155685955424a + 303239456968557885059099790944 )x^{15} + (453217657364237797562807984992a^{2} - 173201053156552963992822076144a - 298493296649049561238607194720 )x^{14} + (-301287876960318515933280907136a^{2} + 168414206628839854601381033328a - 38164053013908320009353222240 )x^{13} + (318570335366970053157995914440a^{2} - 336053211831007807021214077576a - 23802253423020197436885806920 )x^{12} + (-455091061544137591347564140416a^{2} + 612041058114259951390735693120a - 96889459056723111393030628576 )x^{11} + (-73948948233291889484276752872a^{2} + 435046147116613533894723233056a + 40480516222325335197847287104 )x^{10} + (-488235223060177055675909351072a^{2} - 561910744654796094442969341712a - 608902315850302966181862918064 )x^{9} + (17717945383990337008740235364a^{2} - 544942620926468768335221931656a + 220207788806263163268109960088 )x^{8} + (-530874964453551873140760809856a^{2} + 191850946614333163292884346496a - 158520113540238963578093204928 )x^{7} + (64488313835306804125597803008a^{2} - 314435809280293173389190801488a - 177612990417163657075834376944 )x^{6} + (-597415991589529464602236622112a^{2} + 214448197637458080056408058144a + 231947608725911290545443358944 )x^{5} + (608935763411331499553576618728a^{2} - 459336422776610833978663237984a - 102276783589477322561519444520 )x^{4} + (588272654368932261339065107328a^{2} + 116555963078887427144641342016a + 423276991906041027539153710016 )x^{3} + (-196762882207197399588747244912a^{2} + 241005761770624900281772647280a - 61753932905345979385686748736 )x^{2} + (239044208022617773895082445200a^{2} - 464857349517037038635993272896a - 16954594797980820965694475120 )x + 317070743846408526619612401664a^{2} + 561699264191553744729429345788a + 66813652049695369948033539012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary