← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (16226745881891338646242616080a^{2} + 191782047518563414575438986888a - 294651681569832436076456417144 )x^{47} + (-66660968693259660618312057656a^{2} + 59165723283963854493583715920a - 475163475745258688987330766264 )x^{46} + (464881287566652535151876539608a^{2} + 571393029358358527782747755160a - 190476201439064850191360623872 )x^{45} + (622460757242833741189601421216a^{2} - 52790028807017780382264032820a + 11502719160443432926394665052 )x^{44} + (-492656147464510916337515799712a^{2} - 132529873173839418330376040976a - 347342569116579783509197137816 )x^{43} + (-475660683519774295465273129744a^{2} + 327774365358706749402448058120a - 509379219985892441935469640932 )x^{42} + (-163249584659553079203852350224a^{2} + 174186009437409123791359226816a - 389237982103427306440382826512 )x^{41} + (11840861459885474607953948852a^{2} + 108704748478736532045211867504a + 532674693053087866296202006320 )x^{40} + (4144855434279126890291596464a^{2} - 545793255159069010710028341456a + 465438950875793989276005384448 )x^{39} + (319716820005789134786304096720a^{2} - 367677302382560353359429778496a + 564251387244329655643582111484 )x^{38} + (450074609419593668445192458064a^{2} - 590011155279511198625091219064a - 314051609281091278425374737944 )x^{37} + (-75368798418744308349616013136a^{2} - 353399630385937124006336827216a - 525331130202604921889098040536 )x^{36} + (-102102789353764810993059053056a^{2} + 311641688813223384659069529424a + 282239714942863520462217561408 )x^{35} + (-545622601437660492868979957164a^{2} + 28833512183908809198609979620a + 593425641568579270305344523152 )x^{34} + (-456320283747733580226702638520a^{2} + 95883111107409879762524669544a + 431460951148793948755905001568 )x^{33} + (9463149115737583570641973150a^{2} - 586752303745516608500280003946a + 111542358611978198044733579568 )x^{32} + (-121146306763768674840773676960a^{2} - 542605972864541884400985200928a + 533149857994301685591821433664 )x^{31} + (381626239126521424536610080128a^{2} + 587322579458251768349539659264a - 77492224492012006809862263400 )x^{30} + (255998133354956758883926803096a^{2} + 387121872007656677135434318328a - 355537242383977091490092541136 )x^{29} + (354709724392345015781459599128a^{2} - 321046653268834773589466530380a + 559579984531347192109730001848 )x^{28} + (33918150031716991593387322096a^{2} - 202013206582119806579971276752a - 305048395463532326830949009600 )x^{27} + (593332734855160891099903246904a^{2} - 415039016045950124007700304512a - 231449631034128388500578839160 )x^{26} + (502676610361431505951038070912a^{2} - 72816456166932319368076282792a + 495002022306175090383823452272 )x^{25} + (-181471686191927619313587090428a^{2} - 311255986564893749608382026304a - 175821083945506811972959133036 )x^{24} + (484728537344486220942587423680a^{2} + 22403958253100767815882400768a - 297745259410549262040172892320 )x^{23} + (516991240633164719869438038144a^{2} + 120885578691797553414799940400a - 265398079841883851554347060560 )x^{22} + (97961777299845897611513964656a^{2} - 100611399949644375454612173296a - 274063107652817919019319208880 )x^{21} + (2285377444370328655175837336a^{2} + 95066798918876303186161684016a + 539903755004378660385540487112 )x^{20} + (224620159642127046630177504688a^{2} - 513344038333186536877560545136a - 552791455759163362604456640912 )x^{19} + (-441218929449642813503391446168a^{2} - 394837849708733894294630986416a + 236252623185851001435634951096 )x^{18} + (-180913928048511324644286235792a^{2} - 47856386354670353426408900704a + 176509211321707046902070001072 )x^{17} + (-400646674296224541635077824696a^{2} - 357927931410529313293373478500a - 121531647973439038984821283872 )x^{16} + (529866219635097455500109942784a^{2} - 171353525066109718193105164192a - 137525611276346601576938441568 )x^{15} + (-180423374036540385057399088672a^{2} + 610933659448751108325813993776a + 150111549154737416972531137696 )x^{14} + (-494349640662306167788539781312a^{2} - 417451634962360095558154815632a - 157657976156372492063736458528 )x^{13} + (521945667658984888380013695560a^{2} - 197022361009668135450034018872a - 303210207497228729434285629480 )x^{12} + (-588224637624102855664833567392a^{2} - 599731930479238289375791138944a - 600366779956526632276485542080 )x^{11} + (105009259630932245050940214296a^{2} - 402422446473811440928316530176a - 616654600481930084103179808896 )x^{10} + (236458422829196228847801653344a^{2} - 448569754496897372188743410928a - 127649955697594537779699391344 )x^{9} + (-543196136535925815941345984876a^{2} - 19020346056585355321849010968a + 402990089468696865762671757512 )x^{8} + (612019264168934253411166981696a^{2} + 228329081371151841219452908544a - 540044268440593211923090622080 )x^{7} + (233417466146295452942318821152a^{2} - 330579192546788515822932318352a - 121936816049558888614193295824 )x^{6} + (468572803915099951143124064928a^{2} + 308992600039286981560529621760a + 163056121335119169497079709600 )x^{5} + (513336113734453232606582281272a^{2} + 229207652663953485554956567328a - 164526556032414566348715584136 )x^{4} + (-230282764835713532907376295680a^{2} + 474335315829311912590150606592a - 451471364534750811679099302400 )x^{3} + (453407799385633265999092012592a^{2} - 99610204003950132924256115824a + 209543472749459574099080545424 )x^{2} + (265623786315882813170595661680a^{2} + 162828728022120894087525819168a - 573548695700357691147775184208 )x - 370678892586257367874021070128a^{2} - 296546661983729046319621568436a - 301255115740869660256147398172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary