← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (-569345134212389610181695486780a^{2} + 579808012340052930145905744372a - 186535559210437346691554254004 )x^{46} + (479322097673649089985809570520a^{2} - 237263983576839344325665864312a - 281632390590964295619088275160 )x^{45} + (461954269313095299916352306512a^{2} + 199812988067185571080751605692a - 607901647702877382592324620644 )x^{44} + (-396088200027687356863394251488a^{2} - 79282716543408999749944679344a - 618384101878342683557829970032 )x^{43} + (347716131255265436088924762916a^{2} - 265694555970565852967692498064a - 53536451494099439451730689620 )x^{42} + (-517508428140383910709582902616a^{2} + 215043592228118593912003503368a + 398283478730141603434111398512 )x^{41} + (227905024353652708291363142464a^{2} + 509573093673465609780113247116a + 199169930792507251825453392940 )x^{40} + (-563154855963737312147933409216a^{2} + 296007620790358579405744181184a + 612327731964899462363859790080 )x^{39} + (-228576279116185630628903584288a^{2} + 496336369660570255739530242560a + 337865710328145465534697665672 )x^{38} + (489332129805019976217563377304a^{2} + 61714780991058970906467655696a + 145913077839104973099288610512 )x^{37} + (13167107043434391747476340620a^{2} - 22108832873270961784477297752a - 289880241300329475733517563176 )x^{36} + (-5254776592746060263934107168a^{2} + 182966754478745525072164030000a - 188195970651926117002578945824 )x^{35} + (29847449337143025378597861404a^{2} - 18405136727246843101784235436a + 187805505824170358313987851512 )x^{34} + (338618662937067095175094651240a^{2} - 412888979321282222743036704384a - 353792215898009218923297294208 )x^{33} + (589073990930486421175485648888a^{2} - 497022554529836227706924116198a - 290512626435633893797519597074 )x^{32} + (-549982629502708858587349748224a^{2} - 239023470824005984056484945584a - 510637371061869433153280263440 )x^{31} + (-355510628973017484094916097304a^{2} + 380364166777057026022346979488a + 171683379392149499431282177048 )x^{30} + (464832331996948003455724493912a^{2} + 343102127773384356390086782392a - 209911025457321378996193312616 )x^{29} + (-157284538389557136385517436676a^{2} - 180190535839629320793224436964a + 595744698544441542653501397940 )x^{28} + (-408959540097536427066785905712a^{2} + 306738345605158398598069023696a - 383601654237242950494703764496 )x^{27} + (-265429769125588092518162592152a^{2} - 317752421027804632008783840048a - 427598508683370101943197049784 )x^{26} + (-516429924529653316867900109936a^{2} - 112709384413286667380728435888a - 500125511121605910962074140080 )x^{25} + (-578308835253210954040867698712a^{2} + 257954527384775290780918768696a - 632607222859380574203565599504 )x^{24} + (459775321097411422772359112848a^{2} + 216540940998969873413708967104a + 31417744340819664758038709456 )x^{23} + (541647714304148372211678129624a^{2} - 566992419372118244564692884152a + 62638856326435072322494265848 )x^{22} + (334622140919238985839644683024a^{2} + 550365168834940386319036658224a + 501116520417988201894729062208 )x^{21} + (-125988104060504743883852723064a^{2} - 41467082763986286184798131224a + 221257288283177764757926942672 )x^{20} + (413265480690285729221314585632a^{2} + 151897262876642201976916901824a + 333615164632583077190298324416 )x^{19} + (-208225160790595503794450151400a^{2} + 554054447296736223675119488112a + 224882858832675501978848534480 )x^{18} + (369542910431537667889048944688a^{2} - 51128286595992962905168584112a - 250330286895048725454885209312 )x^{17} + (223734173231973551131172788892a^{2} - 519170493556485045729125276400a + 629717915277635068732007160052 )x^{16} + (-374899755870407492564318876928a^{2} - 534393641024302181192584803360a - 188939201200944231600604792256 )x^{15} + (70609928313957678081030489256a^{2} - 295893407987109744942232337888a + 598854844195727435284091859104 )x^{14} + (63537767792581943848205419600a^{2} + 172473972793268200796310947616a + 483746838057076884517969448256 )x^{13} + (-26276199212645690857291447416a^{2} + 391971933492748228745591086328a - 583698721384097053104777146032 )x^{12} + (379741283988351907938157357024a^{2} + 301132352446379006893917913312a - 220547873871182262222193116256 )x^{11} + (-610704031236579188309359069448a^{2} - 550816108274289545337627777624a + 184511254759062089179223877408 )x^{10} + (317781239686646215186664582480a^{2} - 580800991773803892677350724736a + 445788021137290827583044760512 )x^{9} + (-444369617029322669724288362640a^{2} + 580195958161169666276800100244a + 542000209265581347208473447668 )x^{8} + (-174902488511612639617479091360a^{2} - 50066987437171562258039422816a - 601571616104797665695961217600 )x^{7} + (-301929695828163938210355984704a^{2} + 125753236662674406816834894736a - 173834777872262924576665961920 )x^{6} + (39767328324799012799417330208a^{2} + 623271106043572061133404334816a + 308225998736346272868299492704 )x^{5} + (124383895487686451739128466888a^{2} + 527963700162838490161908161096a - 92739784593322997697061931960 )x^{4} + (-546068404713917711113300167328a^{2} - 486194211858077807017039642336a - 530220455882646186449785489376 )x^{3} + (375884935756055133300550062160a^{2} + 334774705453182053000337745072a - 240320550207580529139999809760 )x^{2} + (-163231885745476483672621112896a^{2} - 127214902642434333838687721216a + 467196965973542100368885258080 )x - 46780655900805941901913516544a^{2} + 216393693510190291786207718064a + 595726129524004620742321773244 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary