← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (13870808313147633239086738284a^{2} - 99576073011911654218467510324a + 505311979584566559583822772220 )x^{46} + (-120125425001961560080838334040a^{2} - 293554868414454605284853020952a - 261006107377796403808602565976 )x^{45} + (-536891408032036351122112260760a^{2} - 493834774235425272817924449652a + 164065609118926015232824241500 )x^{44} + (-476737678729738610041163978064a^{2} - 346432628617069341625010576880a - 600329557166752674748463377904 )x^{43} + (351737202330716011331966491532a^{2} + 52835866802497651919254216560a + 581723150026171344206583884620 )x^{42} + (-286688295371685512710130508440a^{2} + 201633092711437976587122333440a - 257801599223423796482544298400 )x^{41} + (583450369082097738157717573212a^{2} - 320447221548183893815135623168a - 75301876079466139257798602484 )x^{40} + (-576468275399193519665715859776a^{2} + 42038793482595653125924172064a - 186150742938349834236858648192 )x^{39} + (-42217350567394275727579968560a^{2} - 259539711206777751259763746824a + 283369229417096464647677427816 )x^{38} + (-589233062215790349221958202648a^{2} + 202145366011216166951329618224a - 230157658124000520320078989056 )x^{37} + (-295994390384695936014759042204a^{2} - 376816637886609923762552777024a + 190995189069434914777701015376 )x^{36} + (508829757030291473974087638224a^{2} + 44726914349788520172070518304a + 2211811445956632777713933328 )x^{35} + (545967838458417902208972008060a^{2} - 396436285122124793662870598556a - 264697195619012765828708379568 )x^{34} + (96596091719636470468062195304a^{2} + 409173481162473134399611318720a - 632686316513579282564041801216 )x^{33} + (-126990028703218845939469980028a^{2} + 42022819544635103009028772906a - 549780484838178970875589864426 )x^{32} + (308030086159799219402219425024a^{2} - 614014773520161302822850607408a - 111621003092974225280245048016 )x^{31} + (625356994923737710940410417864a^{2} - 100713309283779625591455059744a - 590988078036625669959997454584 )x^{30} + (-203002077932321598928194358408a^{2} - 294127464370376043696183824968a - 60437635365533962799150026632 )x^{29} + (-68300136011290292863741787876a^{2} + 593732310609810259246026739972a + 61207562319084453831162833260 )x^{28} + (95429673259048657664979682512a^{2} - 59235715409203940500365276432a - 79636706838003041571216280048 )x^{27} + (-417155359122454219782854959952a^{2} - 422064052932174419349817022680a + 592704473818633164539395011600 )x^{26} + (68519618637352233280045300288a^{2} + 389535857823747609743475016800a - 506446714779594784081714334496 )x^{25} + (413186584324176682487695175232a^{2} - 143884123245201059222649419576a + 109519108057447697746847574376 )x^{24} + (408572816043936488304166153104a^{2} - 57622075746674639691709645184a + 14937101948009828675409062032 )x^{23} + (321571968786126296953097965848a^{2} + 113236629645800872457664014216a - 310812369036084662276419739832 )x^{22} + (618931106543227297223107693296a^{2} + 87770161603530702131924634384a + 497623809037480429185546312608 )x^{21} + (-312003385556248727872423568224a^{2} + 596370787376277648504943396648a - 16395615609037746553940886416 )x^{20} + (-446235286446808963405422925728a^{2} - 201251780747360808362989041984a - 42775486754190416862713177664 )x^{19} + (62493408550547546835059213624a^{2} - 404497811202140187391532170288a - 499216705026094704811341957504 )x^{18} + (-120733086050895538006251925616a^{2} + 178394425790440395136847742928a + 39271278955466930752964680544 )x^{17} + (-506047219694397474948357338124a^{2} - 478085174979668830045974429320a - 135934152858783266744138625196 )x^{16} + (118351993786956301483795273280a^{2} - 586222718496351116637166093600a - 474456291551381352990799563968 )x^{15} + (544334706265931852056118343112a^{2} + 256137323446932750187892859840a - 631999829028460679199376761824 )x^{14} + (-339425627265966557490173714096a^{2} + 64460669492275257839403338528a + 612443286900437057224089922592 )x^{13} + (91947459854099180767905635384a^{2} - 551734608973538732622643462664a + 267060800738354772602742865840 )x^{12} + (358933523470344090377832355808a^{2} + 186241099203200429626886367072a - 369735994601848357737652250656 )x^{11} + (116102771407868107367308059288a^{2} + 575246247138207280470950075096a - 550542279731431000211164721408 )x^{10} + (-34688635811654949769740794800a^{2} + 392691413684755070304408388800a + 375043969090071108642881393952 )x^{9} + (-221865393599513924330737263360a^{2} - 562753746005854515620589556060a - 619065040846596749908038007052 )x^{8} + (2954461190530470357480364064a^{2} + 602317283945004418329574828064a - 461771366479910695328481179328 )x^{7} + (-6497210150459524683233597824a^{2} + 91574246999268120266191133296a + 269180584032086125883283617376 )x^{6} + (-520873935060503047680607655296a^{2} + 418469077657820888015432918976a - 116984317130141811791374514400 )x^{5} + (-462961033914457961084258405704a^{2} - 298510452312327706249376727480a + 320991378945180921225443808824 )x^{4} + (507438349626587968187812171808a^{2} - 415798103986626764056458537440a + 109917548535717389744161861280 )x^{3} + (-522349332181153321534751659120a^{2} - 27546765545253868650015413008a - 238306420790225380763967160384 )x^{2} + (-242019955944031377164596386272a^{2} - 127276581238532682201782522656a - 61757404236229561889308144320 )x + 408396520940848937345267993520a^{2} + 170487106111245492728839750240a + 323407164543013210343277709468 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary