← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (25442731677348727989941953180a^{2} + 59875201038304224137531842644a - 450322257614784636436057821284 )x^{46} + (461283594840800371097342621304a^{2} + 566530789805369976082303225512a + 207786239363041834272131655320 )x^{45} + (-508353743540434268246926255872a^{2} - 82825534877814718486939122412a - 373729471994069362199865700268 )x^{44} + (-158681462746863313181080203488a^{2} - 210166509581241992740422674432a - 41963155880007630526351623456 )x^{43} + (-571707897840859700408874337596a^{2} - 375716124379263768549730518744a - 416463234284319977148202788580 )x^{42} + (357218806130607694434440250704a^{2} - 415794271856811794321403349792a - 416176767244040404015870845504 )x^{41} + (310468368253522598978079360124a^{2} - 411331242090533574403530229176a - 169770271994318943428535705400 )x^{40} + (40531867288984438132679694560a^{2} - 597543062205673939922785099616a + 476552618405872140862021959968 )x^{39} + (89552797647236089997524259312a^{2} + 40279991404195612677528919760a - 270628602413162369012480375248 )x^{38} + (-121409565151262052658086265512a^{2} - 321769534793692818240777152464a - 602951751910900137656292108592 )x^{37} + (163956351759693894263253044148a^{2} - 539532545401592346708385379088a - 413212552849205434222591158832 )x^{36} + (283766631714994199730536926064a^{2} + 226077709338730852665176796688a + 386811652794450717204764921680 )x^{35} + (484816200684671225982304121292a^{2} + 89617881354399050642956326284a - 569741025314863214873909147912 )x^{34} + (537125836001259822110552135304a^{2} - 533024554762077005398814047152a + 23244126307705919715360561488 )x^{33} + (-191428366687025811085266231768a^{2} - 326752912819685881727998257586a + 613331600850413699112619220750 )x^{32} + (133819651147934651352597465792a^{2} - 222068503504193003217357510640a - 149639848989512765943813997840 )x^{31} + (365882909865516054460266190488a^{2} - 552915300949915093891931904480a + 189257622757558695884679975112 )x^{30} + (33323644744578820655786987704a^{2} - 469214340851590699311470855688a + 410588745196007042919962675096 )x^{29} + (-271327011352816982957680385236a^{2} - 536558680690506935927043891612a - 318019318952978203687373079964 )x^{28} + (207548931661085365325916588080a^{2} - 479701973665080041013839158800a + 538024999846237438933686597968 )x^{27} + (-158052940518386338732894901464a^{2} - 539474891372615013701450589160a - 562112754782516233549211874152 )x^{26} + (123625055835201839901490944784a^{2} + 337549394628323082867466023712a - 357333755273635865136328539280 )x^{25} + (451222445473478898922307846120a^{2} + 90856353895727745339392276400a + 632892528612245197688281339768 )x^{24} + (349416164819310787987461323088a^{2} - 170060080146371470384308813952a - 503062257224322123107585763760 )x^{23} + (-222399485877003285080221361112a^{2} + 331472104398185143256146372936a - 577846768305761612306995327912 )x^{22} + (131819203913898133116531584784a^{2} - 47446654685098942786409019440a + 335810355097347366847917911072 )x^{21} + (-270884384209267463823508559336a^{2} + 32401614339544788649902267760a + 439280630178877582360652973912 )x^{20} + (-85658761226327486862218067328a^{2} - 271182508591804868250027083904a + 6908972841820290723816120768 )x^{19} + (459986046093262544180869204344a^{2} - 175626408182766415971536221472a - 200093783645575179530905096912 )x^{18} + (-147206138182130117902632525744a^{2} - 109459455598488885127162954192a + 610670082646437423283510460928 )x^{17} + (-138743535368859314933895385036a^{2} - 359473170134450388359085052056a - 113928061513939594485869957396 )x^{16} + (-72583143157808723884155563328a^{2} + 345824901446756092139868640992a - 422516810332631011294667044032 )x^{15} + (-404810560326251731712112548536a^{2} + 467634425343347631082744831136a - 299204630769133813722144171968 )x^{14} + (-125332654341618540843421715280a^{2} + 129165985441078692372459428448a + 93135202560130357906473437920 )x^{13} + (464396810129712630083164421848a^{2} - 532824434499883656902900110920a - 24559463910612723542615502736 )x^{12} + (-28525575395037185218217564320a^{2} + 555136806240929177445010819744a + 327988524957338774260871985760 )x^{11} + (270599740880190745562036984136a^{2} - 459334580108360569698861684040a + 355425168552379514123673033344 )x^{10} + (332145166423196661219496790256a^{2} - 243105094381763694259858557728a - 433652677825895598909481667296 )x^{9} + (-380729004253321424126158935968a^{2} + 86252592994751032407398798436a - 105312410640574421847934371052 )x^{8} + (-562141403617303032358592521504a^{2} - 374180058669710343645184132256a - 438058222813863114900019982400 )x^{7} + (347479304189361459413037227648a^{2} + 83428820752727309892362423408a - 371454176835903737772862935840 )x^{6} + (-102739707283812214465140996704a^{2} - 474932196299053945891453895104a + 447024422888315001933822168640 )x^{5} + (243618874047871496595899476008a^{2} - 204851460348098044204817595128a - 6629531021987626729151682728 )x^{4} + (-613581799895296438459004643936a^{2} + 173944877114286936481826922464a - 202426515338977383211659251424 )x^{3} + (119324205691907497124737320336a^{2} + 321829534644599568395768755184a - 132060872846747447966787311072 )x^{2} + (3233099339114217422529955648a^{2} + 270651058162527137281682033120a - 95298628780083669779594319328 )x + 284491897217534440341674164976a^{2} + 147216948813382614209414944496a + 346167931907827367207724674188 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary