← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (-253341840153337906399588397756a^{2} + 247866090372105117349014000700a - 12440570472526275511865020836 )x^{46} + (-440114885311433839909452413880a^{2} - 180852948725348759404726061272a + 342947669809655056433334180632 )x^{45} + (-290593276880423629660856423016a^{2} + 541711312248282015678876477524a + 341859146696078102207623428228 )x^{44} + (158662314344387695857381849200a^{2} + 70538186647681870362998482016a + 186738616335964027579661502272 )x^{43} + (-599753578068843930565761436116a^{2} + 274914204150692989184606319112a - 71662838291393648740805090164 )x^{42} + (-286215923211919932375390687776a^{2} + 550147500820327432435245534424a - 323106701182438593113631033760 )x^{41} + (502931510496861301235731960576a^{2} + 17991943455255725507131332252a + 378008164769063874629614656416 )x^{40} + (248313281047206638075721082144a^{2} - 525313789317372392194462740096a - 98478067874350657604175620064 )x^{39} + (7706040309200183118317040208a^{2} + 582879123595386517497804579352a + 34695710162985428537762939056 )x^{38} + (-390556622062764511529492678584a^{2} - 276450498946353336675378791504a - 57209710452605896669689356224 )x^{37} + (96420602747708685667586950156a^{2} - 318608533138349834604130171464a + 41717391077094899619565829496 )x^{36} + (-548931465573016187445861582976a^{2} - 464163631418678021125786298944a + 497379267363027213245032914912 )x^{35} + (432041893624662222581947373884a^{2} - 236854547335258753496437862916a - 113730921661404950893204556752 )x^{34} + (201686054570798337622324415592a^{2} + 555239552004080937876433281520a + 383241653237144848981321858096 )x^{33} + (501892269495552784355728690020a^{2} + 40579118452400200518725567230a - 449117800989717576919973130906 )x^{32} + (-576606472733938346184146872192a^{2} + 289695650145369680859185325584a + 512492594824515058314789184752 )x^{31} + (-611710405912544310063096697864a^{2} - 621691484256089937175448365248a + 626285548253668206227109319224 )x^{30} + (172647822077960474309219634392a^{2} - 146876834321324429649894256264a - 191283272401117009137175675464 )x^{29} + (-633789748105778635789779683396a^{2} + 157516501433444056623002727788a - 473071128938439118571441416676 )x^{28} + (175722173451384674993221227120a^{2} + 625712439716659124600406439184a + 558580393706901112599833051056 )x^{27} + (-12754144976307464520607896400a^{2} - 312935208279649686074820739520a + 235609863586588716991884489168 )x^{26} + (137823202905145338331660275712a^{2} - 137241677484618112387708395504a - 85125212765129935870448445312 )x^{25} + (-629975443060445892542682379376a^{2} - 324307295323973012122473905824a + 261549930603582053392772602384 )x^{24} + (604638119340821407828255284560a^{2} + 377480371180842854608789491264a - 544968653912228722477603979376 )x^{23} + (619825880260630215828432892520a^{2} - 412821233200853409469194266840a + 16578265313601297245264160584 )x^{22} + (-303008202445008004047728341392a^{2} - 401479316085952099472774843920a + 630179254908533960124438265024 )x^{21} + (176575489811606592671323083536a^{2} + 422430988522857814672948954688a - 367658534438101983698457542328 )x^{20} + (-534887170501725499077155439360a^{2} + 235515443335846960411215187136a + 59004402657244274802746132608 )x^{19} + (567161004232243687037613511640a^{2} - 536585271057661446804334147648a - 542670023880144959337272392416 )x^{18} + (-69723484190577008787226246448a^{2} - 43168053149733002552797078576a + 269465265761121838644303180096 )x^{17} + (567768334637127023040051370844a^{2} + 527065106344951374424256414144a - 528790628962107341340848935076 )x^{16} + (-37544172604133518504913068928a^{2} - 123911542551619542852505948064a - 321686615189899098456533636928 )x^{15} + (-467810472264770629120741910296a^{2} - 619570767976785970121095202048a + 31402699575437637272970254080 )x^{14} + (184301711310113331872265680688a^{2} - 349220742685182173514013031392a + 2316500226889376586491948928 )x^{13} + (-586379494823712123841319682328a^{2} - 194609368599570600771765911688a - 332121785333496794475164959152 )x^{12} + (515328844769625737147301184224a^{2} + 413193850043307212175104290720a + 483449738806135211108779775008 )x^{11} + (-509312646395841985768984466360a^{2} - 629047253392882700029106287352a + 439511750604120735927008621632 )x^{10} + (-247185278846364110841089458768a^{2} - 404306896240085448343153188896a - 401412672395030368567085809536 )x^{9} + (4504584464349673822348002160a^{2} - 39775274113017664050006353516a - 380310715169764767909214105516 )x^{8} + (339449909332619575147706654624a^{2} - 105648260458497335473788478240a - 501577891873150644627805560000 )x^{7} + (-612021618076918261098172912512a^{2} + 373559997844489524588274694992a + 430219430035611812387279664960 )x^{6} + (632916283377666385028029895808a^{2} + 79806989614238841343863682848a + 18235132299120106932770573632 )x^{5} + (68149619960522082769967880696a^{2} - 33645293063855052435839858840a + 530156227850856123763468072424 )x^{4} + (-106830459110602479948481322528a^{2} - 243525966652074582502288970784a + 564056082856373114653540705312 )x^{3} + (-590780332066562398597928937200a^{2} + 136049244706683621356452703440a - 29311117208801760653498678976 )x^{2} + (-86590423133104094046109591072a^{2} + 66850438242418849064936230208a + 451861823630792105872369719168 )x - 33045035004484821831931813440a^{2} - 622681704361511239349392788640a - 21296220382531375170736470036 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary