← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (-202366561523901216338217148556a^{2} - 219584700686506865824926694820a - 124338642627447268211403507004 )x^{46} + (-19069385047032091760662818248a^{2} - 358191942052718154269818519304a - 604941559193690931856613668312 )x^{45} + (266852985354767052557093107152a^{2} + 888170990419742462711685364a - 73116676533507305953573670460 )x^{44} + (-564194166497430653484768060032a^{2} + 277606833980859915434152426464a + 538464974361001193929713330848 )x^{43} + (470406628682644997499849790860a^{2} + 33309059538821042253072829384a + 379470116873302294612315814556 )x^{42} + (-440030808032808193600079884016a^{2} + 606978192571180782256050249176a + 194032701492296953296462520328 )x^{41} + (89822395995583497065378946764a^{2} - 516342057139395884420559267840a + 408799767851310574030204324416 )x^{40} + (-232907589194706678419138990912a^{2} - 287083176767169275592178991232a + 466533484878217914367677465056 )x^{39} + (148756608748000754843820488888a^{2} - 584330058129155522374639904104a + 49441305710550892942688520984 )x^{38} + (-66604284937148804777300858168a^{2} + 344179002295734246685766782560a - 16154583238113448888603402032 )x^{37} + (-221622112736204290374600325252a^{2} + 511220689780483164698782637096a - 151298299284571223348782754688 )x^{36} + (490591065494756103089034216912a^{2} - 16268381093365143693312034672a - 361303454405920609754298021296 )x^{35} + (-486055820097463784236794098052a^{2} + 507482290214583409664273914420a - 176729985978168737515428178936 )x^{34} + (-388540199363641960504305509976a^{2} + 188952184300856204682823366560a + 93927152618305990853124496752 )x^{33} + (-114564430033514108373067264532a^{2} - 446818784217523900744962542562a + 530766951478888427324305672458 )x^{32} + (295505113485771064115025003904a^{2} + 22777932486684295887818680528a + 230089384151160305326762644016 )x^{31} + (-71883936290017063485216064856a^{2} - 523264938944680916190047445360a + 305798251000757183660752225864 )x^{30} + (-511275762307875969017827916776a^{2} - 475538093907044598634753823368a + 456531189703671260946385018296 )x^{29} + (358149739223914742017831351204a^{2} + 436737712631318794663403268412a + 43970121753957622378609446212 )x^{28} + (-85023510379897535570908201520a^{2} - 436939573861452572691068994960a - 557935585001541471959645793072 )x^{27} + (396049231959917884524741920200a^{2} + 55995874300599242985456815592a + 329944508213429068993584081456 )x^{26} + (388143979595835222268458586352a^{2} - 576396010755794164065207390688a + 398344658429390428542599631424 )x^{25} + (-504970092877288441487446572112a^{2} - 375194994541832729078299957424a + 185251647082334732175308016528 )x^{24} + (599929967984662308963548926416a^{2} - 20681967105695892904162854720a - 414456449350883236637693691760 )x^{23} + (481787278462437768539896169832a^{2} - 456439793458543799138869546072a + 600672767075445889133346932328 )x^{22} + (409473975517422453715837895632a^{2} - 191424439914380779223935378448a + 422760469533239135944160332608 )x^{21} + (-9408598648232837764706886648a^{2} - 538695205352284337565774823104a + 58822060120386920296459314600 )x^{20} + (10304732145221900808856488800a^{2} + 266219926445278990203797455392a - 60773364350843540822811010176 )x^{19} + (456890384317954123826323184984a^{2} + 77705023657734885421432929392a - 329745733358188550843736294304 )x^{18} + (-368291839484651785223387910928a^{2} + 192144595590387991560802868240a - 28663755484511655423251479264 )x^{17} + (-401994360927848851281882881196a^{2} + 395157966590447705360936190552a - 467251811888540168360793983924 )x^{16} + (-364331798265278278753190180992a^{2} - 460380167061834082840383192928a - 385212806958941281377070900352 )x^{15} + (49690548074245129892223179784a^{2} - 571835983669659113958185620064a - 257560279159072245103847724832 )x^{14} + (-138621239795746581255542597296a^{2} + 527252796708075242555578889216a - 36848753020101336896793572192 )x^{13} + (383263798239307960586912705864a^{2} + 104972846345201706668436952232a - 385995667714631567811806493520 )x^{12} + (262083679125666095091182282592a^{2} + 603115985528441597498282799712a + 397162677962841575947974194336 )x^{11} + (-451395453571040942555318836792a^{2} - 519782017922653374125201663000a - 71190449134970534720645312240 )x^{10} + (267724958680613894504687180144a^{2} + 126282432875674524449809752512a - 8641349214136569528457240096 )x^{9} + (625515097475609943368257910192a^{2} - 433957739203378925756675614012a + 86782598165508055608388090308 )x^{8} + (241016960674789873081980638624a^{2} + 574133118401761794505259997024a + 628050773003219874868947437440 )x^{7} + (359494382194357273064611735072a^{2} - 196046466463721927802531347632a + 175220049943316270539968599200 )x^{6} + (143893266000589711125317685792a^{2} + 84139697149225032326552460128a + 578632403628165497841450004672 )x^{5} + (162131511016249675857401495832a^{2} - 355743717380823560891524153528a + 328609586404577933874072179128 )x^{4} + (14792388649962389765148659168a^{2} - 359877452720347309158463612640a + 130858845254716047230988981152 )x^{3} + (302189330081834715363931104304a^{2} - 185291267015649700708410726928a + 8683466738193846113186304352 )x^{2} + (-463117321729297339825926506176a^{2} - 69195805185858413701826181600a - 302034775767414032888832245888 )x + 17680189401273898185953181040a^{2} + 313596732645635254474734581696a + 107781234580455999034423442492 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary