← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (343189113670208784691418290348a^{2} - 50311702378078258646046870252a - 447796551570951275667787958396 )x^{46} + (45211845302046053781765451944a^{2} - 502454496957420013348799992712a + 455452360230066778592892596520 )x^{45} + (581033077127157115276355611528a^{2} - 94986212040677845926191121708a - 535112264347652159742469034892 )x^{44} + (-253748713544714941217695554736a^{2} - 329385897327112119069516939776a + 337019195386782487907091013376 )x^{43} + (444973614211955879379996816340a^{2} - 83741723798497685419808940104a + 260913750585241440155044278652 )x^{42} + (392731154390877668980888969040a^{2} - 374969655421850609592213766704a - 508072860931686089223375459512 )x^{41} + (94392712104230695727124406784a^{2} - 98624746512543443917634802068a - 621409706927044383313223100112 )x^{40} + (121056336106658071531452615040a^{2} - 514455294173193306677334880288a + 117833018870870896734853758432 )x^{39} + (-145418163153621018406338233704a^{2} - 367185218827442528539720866000a - 102421189310891350756506201016 )x^{38} + (-2235863854155993408753540040a^{2} + 611629666658405802345511934176a - 297690125089427711490631545952 )x^{37} + (402782491338922367047458512324a^{2} - 138518840297058060290734505840a - 201495078701231928620507693256 )x^{36} + (69046424007469914647877908832a^{2} + 522655458773131961436086385536a - 579212188922980877323725492768 )x^{35} + (-125379892790755768661748807492a^{2} + 37496066755388402725550276740a + 77804009134052668875505372304 )x^{34} + (-388261580466568771711196100664a^{2} + 87654759483528690833971006848a - 142182029831739381865365015664 )x^{33} + (446488117330898534304145804720a^{2} + 5538592687650223515584844038a + 280182489842364258948590114314 )x^{32} + (138688116394010701180098111680a^{2} - 274069792700404856075672658800a + 608065604068113408146338325360 )x^{31} + (-557935106778512147991952021656a^{2} - 198067743307418493706689755344a + 619276103888347234794583755352 )x^{30} + (-39987550323270104277908041288a^{2} - 559425384339733175326189470472a - 420200735114902406795638952872 )x^{29} + (363636371454035078416254678100a^{2} - 390926855592228275670106695628a - 351406752760555150821286496660 )x^{28} + (-466381914266683056895987005360a^{2} - 576562471825582471718480884528a + 3506259063019490677107489776 )x^{27} + (217752325499652362149416212384a^{2} + 484614189916714237021570079312a - 497093828934084559967413204840 )x^{26} + (-47894070090198616242225426848a^{2} - 316212678481501221814758031568a + 599308950949283207216610663024 )x^{25} + (-401268902292221962840278579768a^{2} + 195569152655812639128609138816a + 441868255910374839400164078504 )x^{24} + (-79262441348337183457749007280a^{2} - 119471980120525459245564757760a + 15750418121492085241042032464 )x^{23} + (528363353379363825282176787848a^{2} - 86210874512846693750231777816a + 309585415414703669064466148632 )x^{22} + (163079272727456217487110394352a^{2} - 53571855397364191264197875632a + 55279685424551850970393287136 )x^{21} + (435279723476969464067589667584a^{2} - 206268560882334913066656262256a + 152912705967608665273565753464 )x^{20} + (-9559362750292326634900762720a^{2} - 622422656898505153827010028576a + 168070668783442095562876776896 )x^{19} + (-609706037020401267558619349864a^{2} - 246499725366325068799272305520a + 377104302796976341764163407120 )x^{18} + (-297766695018027098363802840528a^{2} + 512716972124488381420683069520a + 340993631159804436003797124384 )x^{17} + (-60108501526288016152425022276a^{2} - 98200197044284462661772736064a - 28852688260628505030704737956 )x^{16} + (284812929261582081509012433600a^{2} + 567653856991965520501870252192a + 170946477717752050390403941120 )x^{15} + (130075747275760770674685982760a^{2} + 595644083294098008909069383872a + 153169293333357003978346521248 )x^{14} + (-338424039072364341847013905776a^{2} + 617815604651363836099877676224a - 151035344708833164225394441920 )x^{13} + (-467909050887785337412132235432a^{2} + 260797384293889578520007448648a - 274523428117753554175142982192 )x^{12} + (485665283949310577177369895136a^{2} + 606590252810939386717663550048a + 42881642699099825947485024992 )x^{11} + (-260763909168894138313242719672a^{2} - 163807935496302108708307416584a + 585827057795882901949357006992 )x^{10} + (-158672165521150354198501252368a^{2} - 226993058610768073518732649472a - 43446923653511613888626369792 )x^{9} + (51115913435668074523644122368a^{2} - 553411764166835034277880682732a - 22348487311916999890861041564 )x^{8} + (-320080695259830003362961271584a^{2} + 129647074596193121277111834720a - 30632339128824020509535788928 )x^{7} + (-349393325719003971015581104224a^{2} - 340918979773267219101933755728a - 579241761911231506362059075456 )x^{6} + (-433937301510291803463020675776a^{2} - 1182951344104606322298258496a + 555974497729513203983209756032 )x^{5} + (429546410271173601760113513864a^{2} - 456149512932863748939592385496a + 388384097443310563881450481480 )x^{4} + (484236069583868489357418608800a^{2} - 178050732807205326023547077856a + 618035948399948647705746580128 )x^{3} + (527618331124038686271966966288a^{2} + 405636971279282802995450869872a - 600810752797245090048038273120 )x^{2} + (-320863362007779260892684472096a^{2} + 116927601686087772418242552384a + 207443455095126450940479671904 )x + 558790175622807742225096329920a^{2} + 353623403200538694343390005904a + 616457674531446463953673283420 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary