← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (-57985706945198225869884319860a^{2} - 491388791217913298835969121956a + 44640427735495282566227121588 )x^{46} + (-165628223438741837232146562856a^{2} + 480492367642879310325155750232a - 16331949328312300638728961000 )x^{45} + (-346825513530006865085060761728a^{2} - 514255673678171402921769602372a + 420398430885363851162608983244 )x^{44} + (129518806029970615665387541312a^{2} + 296023149309206478699258649968a - 266256024214569327628257537392 )x^{43} + (589431828101791658418919151196a^{2} + 368135758810941851229620208032a - 204211239164199000855177732580 )x^{42} + (-464774672020278689841261237400a^{2} - 334778313579713179971965935616a - 126010568406491888857114736312 )x^{41} + (-509562111945879700680678352696a^{2} + 106209530176098084863587244572a - 138909357975357270242990054380 )x^{40} + (-409171317177614487242782188448a^{2} + 394435143480261123970280396064a + 81524086854078599151536252224 )x^{39} + (-491414242468136766640969960104a^{2} - 38203002344138416855543924568a + 10507897354824519698335567168 )x^{38} + (621302360467287700698716974888a^{2} + 603439185770056080463129189536a + 154022487317926791455701937616 )x^{37} + (-369722092430756174940963058924a^{2} - 431433457617176809988295856832a + 410196882101746745918824971416 )x^{36} + (-143086421305184270076347982208a^{2} + 479564422670250886768208116976a + 275544827318308754844813460448 )x^{35} + (309585400366294405281054977212a^{2} - 203629027979577785015740096516a - 477028162714035901145363143800 )x^{34} + (-427057766995473026025974235192a^{2} + 55973045486860209082011094032a + 4993109506689600076228422976 )x^{33} + (-561323289711072880889454377892a^{2} + 207681967489499120544285598114a + 244741610308744486606768326530 )x^{32} + (-137580002920599550663738506112a^{2} - 248809381767362477731338052656a - 479318212868946607990404332176 )x^{31} + (-561232131068401587248299643752a^{2} - 367972311492794395840339019344a + 496041388988005597292564787544 )x^{30} + (548695064519518970058463746808a^{2} - 570616987357414046117913603080a + 394162928800393650684803492664 )x^{29} + (-456833167379881623453397652172a^{2} - 574531049754617918188472690300a + 277057302588194212392263873172 )x^{28} + (-310107150991203452794866164624a^{2} - 77551014900974973863924465584a + 104172065657233578408341135984 )x^{27} + (-28309531231635029623556781960a^{2} - 325867271037589216694755817328a + 571386730799258597930853065792 )x^{26} + (-341257817705462671674183374480a^{2} + 238539503544225448522716936432a + 61655372567821088089938965376 )x^{25} + (-620662721921099085879844189056a^{2} + 300460411513677316486271088984a - 115182725168570060927427141384 )x^{24} + (65449651334540645707963686416a^{2} + 492112625632793457788624106368a - 539776289526135430234578772720 )x^{23} + (615130299888060714374119279832a^{2} - 340790457220940699789066018008a + 381274798498817121235389928232 )x^{22} + (-465245721256917117258152372784a^{2} + 573703135921762605022595486672a + 268446129008413555083649939872 )x^{21} + (-300771464878811422611180769096a^{2} + 548332779952549140638716040376a - 456298147078981359351527139648 )x^{20} + (-359294259158710009141265650368a^{2} - 159351539993569508157427016032a + 613397289314754031203856282304 )x^{19} + (-62708842505212146688585689576a^{2} - 316194917509967763981859197632a + 119112464250179831106960124448 )x^{18} + (-564433092428439367042720613680a^{2} + 453927707701297930777198293008a + 483916208917254239354603189344 )x^{17} + (483238195615639632238352926956a^{2} + 313649564030625074286512033536a + 197474947738945768365713371188 )x^{16} + (-238333271423342295652644389056a^{2} + 138404611890453608799251493024a + 377151272978592506269054550656 )x^{15} + (-403549736483667028613710101016a^{2} - 184454724324182205199268736096a - 194635577608296742213504849280 )x^{14} + (400846040815292184885799757872a^{2} - 122590313630635015537317440256a - 6063641652210278668593131072 )x^{13} + (-81201281824879813543432130152a^{2} + 198328137950035977527786424808a + 442097341945229625428267654672 )x^{12} + (-459122890742540956769448716064a^{2} - 430082055002915802992274112224a - 296450620921346601492328186144 )x^{11} + (354019951254075905957211380312a^{2} - 602613690004333971022607897128a + 586651774620152322444359471312 )x^{10} + (-49736893692943631646919197616a^{2} + 110028329022610509964751009504a + 380953011275677211205484597824 )x^{9} + (-319714957109488161980174063520a^{2} - 148479300285870487543784173900a + 631368463861452861609718064740 )x^{8} + (-114228407438579866814765982176a^{2} - 543171907629782429961536698848a + 341292761632736793722233957376 )x^{7} + (440924176828390964741282812448a^{2} + 290461763484555391595090192432a + 531569102458288995112341330432 )x^{6} + (59013662786826486908538680160a^{2} - 238634563580976740829753759104a + 266065420277526233917181601120 )x^{5} + (-566938480812955920326702005672a^{2} - 16235686488442553698060314456a - 270422041193845906290572342328 )x^{4} + (207698613359421028049232759072a^{2} + 60475527171751660227805858400a + 378238404752518455494011444256 )x^{3} + (334612834650409073960615290864a^{2} - 182100674298265363105553156560a + 382886869262953797389693102848 )x^{2} + (418825734364232691009938514432a^{2} - 532853353151710902131614771008a + 32077031329476414295451683584 )x - 388826629493315599668421596128a^{2} - 616439600643803418557696474176a - 186363551050794695008457418132 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary