← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.104118_301378_331764.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((137054887143923399068544891592a^{2} + 74476531006304925288885685105a - 24479847608906486281035982492)\mu_3 - 13880742463517428759480882093a^{2} - 29689237843950301159144976679a - 268589440130478788686959927058)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 2)c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 3)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 1))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-120974132725423644702500513856a^{2} - 196937879537652507302143831168a - 423482886489843494190069019008 )x^{47} + (-562212347186959574868129894300a^{2} + 362756206389382733640484442948a + 451738402377440633329621284708 )x^{46} + (-333224791028147215147868916792a^{2} - 519675085569013998047363156040a + 249404050672939375558558058072 )x^{45} + (487915984283276408439808019384a^{2} + 69227126746981525837328132620a + 458532280044205607785059108300 )x^{44} + (-574477656653773794732284351152a^{2} + 569124080142356622518632352176a + 19734602613811419778464112272 )x^{43} + (44729691038009142622015106276a^{2} + 553369724504703502142310871312a + 65790699259434160926372959116 )x^{42} + (17909707027703119661204608856a^{2} + 276938138179504502457243824344a - 440260989051901698835667088040 )x^{41} + (208054688109382627874169898340a^{2} + 203562529828445045924642332632a - 321991899511091780288705997124 )x^{40} + (-402232085585174027692166160032a^{2} + 478942174748921357772058429056a - 578158563931328123928245836608 )x^{39} + (614628438319164409722424897896a^{2} - 452886162173697787535944934416a - 363919190334260426796772948336 )x^{38} + (342123469496843878443799061496a^{2} + 461603930750096938074117710592a + 65917380530407118661429737824 )x^{37} + (586692560448364285223155453948a^{2} + 157594332690535925814315211128a + 632020846306901273983104111648 )x^{36} + (419227174258556510163865731632a^{2} - 603048948778795489770567367072a + 488157660311990026345485468688 )x^{35} + (-507315957660550913487264751764a^{2} - 228429475310336486248156484724a - 195701614623738690615160459536 )x^{34} + (-369346891608649524414040838328a^{2} + 591132672002812711333585602256a - 476948389336187612668493680640 )x^{33} + (-502711050970203547117091061248a^{2} + 541915034604205899998349355642a - 607753921634337364278732613230 )x^{32} + (469911542342290134622201062656a^{2} - 624103812852140062588987363824a - 183184452197674996621021050000 )x^{31} + (-590978533388190649187926688680a^{2} + 7443355536504510112234305968a + 333876101880002608361557249896 )x^{30} + (612251121105083136382902577432a^{2} + 415678792645612475546542877688a + 8379310645014852773441439384 )x^{29} + (296430880859821573989504864244a^{2} - 405152838433083826558458179844a - 607127422372316419489513615684 )x^{28} + (-89699045569226786204447465936a^{2} - 324796825092188600569738783056a + 597540674394165418604359774160 )x^{27} + (-456341707864173352842591002128a^{2} - 413035055898822098269983854456a + 406103952318626547375551872536 )x^{26} + (-556207005411352466481004914208a^{2} - 83754268155001343402416379360a + 199957549714952534856071831664 )x^{25} + (511732783152091378778501827720a^{2} + 32935483422299218036117924872a + 59008129621191158651745211568 )x^{24} + (63266326074979648832308191888a^{2} + 3902183067990081425670714816a + 123256341780126154996624661840 )x^{23} + (360397246302464847996173160248a^{2} + 604563138859865924582503658120a - 489537380136145002703044421000 )x^{22} + (-176166067571872639460578329360a^{2} + 238095872098809849173247691504a + 14225717950598906577491988352 )x^{21} + (171681356648108241888998947344a^{2} + 581517661384552493099372815512a - 624027146549504271220338802560 )x^{20} + (-251422136136539287269112390592a^{2} - 498123646439340726446952035808a + 83194512997991688108804236864 )x^{19} + (449435434055496449922592280280a^{2} + 11709767950427943788648776992a - 510098327156814989457661927664 )x^{18} + (-192932032328558804479395441872a^{2} + 619276740028434516027727702640a - 496499064378958158071018259936 )x^{17} + (58189788093618810732614719396a^{2} - 56479220906218030822603565832a + 315916965227927016734282082196 )x^{16} + (602989312453034354393106771712a^{2} + 308782334010186028019358084640a - 259678318563423934899525674368 )x^{15} + (-331411248190769905409820996216a^{2} - 424099742170616810860771944448a + 109301761648530315688212815488 )x^{14} + (-381400954833338620049539160848a^{2} + 104306608552204220523977938560a - 167946444218301247185811497824 )x^{13} + (230481538840813845109955504136a^{2} + 417423382667689443483316746184a + 440046507237892174435815793584 )x^{12} + (-184337974378569063286151997728a^{2} + 11088903177012384694097091232a - 533930836624429096900525794144 )x^{11} + (-58136737473702147471834927560a^{2} - 571975293009248119149088851448a + 385450629429406201701532767472 )x^{10} + (-483760421393029601444103353840a^{2} - 301755822409160831764796614304a + 397857638032881516109740418784 )x^{9} + (-624128781005691740993527699408a^{2} - 175419185305257537163450295324a + 583203927433916876313969435780 )x^{8} + (182519341331141870684453354080a^{2} - 459956288342098824996891477472a - 395298083539406008803415171840 )x^{7} + (458761210638307635826812859232a^{2} - 334659723535917426208746682864a - 165661101982600896546085669984 )x^{6} + (-522574168784738056313019926912a^{2} + 194122666298207527824600714336a + 512589408164603701461000452704 )x^{5} + (31182242483835673229337614440a^{2} + 406272707121062755103260381160a + 392768869931761054877674113656 )x^{4} + (589016843009732967274455946080a^{2} - 185783994001867087335217966496a - 403139260444913872778231179360 )x^{3} + (-253131112759334030430453335344a^{2} - 326639630109628892050663345904a - 460955980445169437147891647680 )x^{2} + (111329403860971461964939484512a^{2} - 570977913994836236785211755808a - 200728053743974728702552356512 )x + 576191472463506874226923515792a^{2} - 296683269202179966487969322160a - 284497338864002610601522004404 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary