← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (-579197972001623036465810043468a^{2} - 341772118446449363958873392184a - 400484277527353389537787910204 )x^{46} + (262928315545989586341640873644a^{2} - 123809982520920996076784758960a - 448987907144648474142971672572 )x^{45} + (42662841694001327919958501032a^{2} + 27590337056363849706476514020a + 271214050562069283960251722428 )x^{44} + (-393437903891541662247755216408a^{2} + 268984298683696896956444195768a - 14354940369360035145794656912 )x^{43} + (-410490142579168827503049612026a^{2} + 449015410914644424592131171776a - 245217364763786299220693818100 )x^{42} + (-227393563012251697973023712884a^{2} - 484842393505853811832427317180a + 179695216727561857060687294060 )x^{41} + (463362640777684574394935417900a^{2} - 192829947846508123151122220076a + 455790876524056624613333908684 )x^{40} + (491362592710303644208764480620a^{2} - 308408123614769105068883310292a - 579561738773198244852710692216 )x^{39} + (616475085062877893237991941560a^{2} + 379317801285209808815766008928a - 394324807060588358423650417624 )x^{38} + (-232727186836339979957421582840a^{2} - 147459725935352654747852371308a - 407784676899045387322878900012 )x^{37} + (-514664011250697115099670403416a^{2} + 9209553390876359980426294364a + 97165816984117711129317273388 )x^{36} + (-550704915906687106885957026328a^{2} + 96441750800531543706585293120a - 628552096035710001189134399272 )x^{35} + (451055782322440338014500885448a^{2} - 67343650000117502554547852548a + 119162806511265835370801750060 )x^{34} + (-119037369283861139720537813496a^{2} + 186339302104932439133702865228a + 589062014381528756068241766344 )x^{33} + (-291601429994120135909351289428a^{2} - 618028370296238739209866088192a - 14678046255278294313031875544 )x^{32} + (92110455992678370660090748864a^{2} + 260329432238355594928735515808a + 590126481981594105662304446640 )x^{31} + (205709801796050035561616334640a^{2} - 149285185571869035463098060736a + 556727163945102391030947928708 )x^{30} + (622171622674897427129087609488a^{2} + 127795401554609894042849923904a - 299818880785724203825437058992 )x^{29} + (-443395213203476843211969008568a^{2} + 338990629253219414491322988736a + 286984679811751047313897061896 )x^{28} + (284358671917992514328349189552a^{2} + 471519716864464598664704111624a - 199283348499746882772930741640 )x^{27} + (-449482942559494502192739107108a^{2} - 435281448926353893071078968368a - 46367723174325419357261642396 )x^{26} + (630739534749238608805055633000a^{2} - 196617535208664007969495933040a + 338474237338632566264720646600 )x^{25} + (-107871096587526776437480875572a^{2} - 76038329522868376086809954100a - 244007523643545388619067886584 )x^{24} + (-318573257194255350649425106288a^{2} - 591685268129705014425279166304a + 95700306076094768475218856568 )x^{23} + (-473266978181667962635396857008a^{2} + 413280160712788101374051635832a + 99248169939140985909746607496 )x^{22} + (-383333965439614337361326774392a^{2} - 486569648902395744382207419472a + 633812660995418497725788237280 )x^{21} + (-325391617182427648115331180192a^{2} - 303986324387601533853380958176a - 224733461807130312833501084472 )x^{20} + (-585832958529202536332377605848a^{2} + 581667159072884833838637048160a - 146130380689110622868146761848 )x^{19} + (-509694638154636668699914931892a^{2} + 434940443606299322531910269048a - 459265464114232656595391916464 )x^{18} + (-18381449425492814027782947912a^{2} - 211895131866910685128228054024a + 156012940750454870843260276248 )x^{17} + (-333587740072663800449428371352a^{2} + 434204263255888014435910363768a - 91542419169072643641681611720 )x^{16} + (-158656526621547680110662679344a^{2} - 371899262899583235061746632352a - 163515470611608036798821658560 )x^{15} + (-231984641609101236885636368112a^{2} - 229886602145473936937119812512a - 487151111978636511421715296944 )x^{14} + (192857527122270641765433427888a^{2} + 151348410386165150159474454472a + 249185711960945613496152091592 )x^{13} + (-292394094994344736433707582108a^{2} + 566252374038415720395711598944a - 528430787015887104184744676516 )x^{12} + (-72749167905989874021168170064a^{2} - 58175432137987466120690114656a - 21585796263025612858205457264 )x^{11} + (-478438047124840294148553250320a^{2} + 238429279339747649038675710728a - 160164048789331346635111878232 )x^{10} + (243245033019533125844411836144a^{2} + 130424400898427478252073370504a - 553409307337369244233887894816 )x^{9} + (548822232150064869884413862496a^{2} + 201220310211382733548192261856a + 590259439626734517483612745888 )x^{8} + (-106957089414400671479762898384a^{2} - 9672258970733001236757973440a + 604387433071656042307977670784 )x^{7} + (127717499247720814347119029408a^{2} + 28918776289878167974923676464a - 5176698827596246186937253048 )x^{6} + (45455226078603667883894217376a^{2} + 561437113419974632818666311536a - 142580403105388583950789561296 )x^{5} + (-583161865094499099803027675472a^{2} - 414099055403478478084895646512a + 469049396643127646793914970672 )x^{4} + (-77622541335282440862248200944a^{2} + 36124681560509449770894213136a - 77620596704484926036835381968 )x^{3} + (621448181509196718989372398008a^{2} + 325831425990722890871701798016a + 573455156309149393091086172280 )x^{2} + (-335984683222610907412501031424a^{2} + 382291330704285516751669039424a + 602123561851475585678558530320 )x + 65508820056897553497122411256a^{2} + 124904763198773371314481683400a + 384689042337010217416286158668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary