← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.90112_442368_499712.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (542488457517721306080841356768a^{2} - 629788233195458877145458078692a - 461169749995832441123770699476 )x^{47} + (346208259845214600042460769372a^{2} - 186952738291180334908538886296a + 396742239612505648751028617780 )x^{46} + (47726324217689801254162562332a^{2} + 341008717385812732658791165296a - 65571016430274198206208984172 )x^{45} + (-372712973352056558526238272648a^{2} - 508370708787027247302232705484a + 188333530715688809000290219644 )x^{44} + (-423640048036410167114050850968a^{2} + 590354767793660015719533665240a + 348248300470553789270658400224 )x^{43} + (-590897893292771680329037890818a^{2} - 404728672767237736516752819340a - 488571947436295275625023984488 )x^{42} + (-66730242838353047150769793916a^{2} - 509675533423691082297904090820a - 470871506760524852672254722940 )x^{41} + (-241099744453039109802084249044a^{2} - 193282366533249532663162834300a - 541512167829530255875049901860 )x^{40} + (482614304246496461569974769692a^{2} - 167089836473840511892020444532a - 101000790247404887616110947192 )x^{39} + (-334507558759369544344905177528a^{2} - 397143711191436049630571487760a + 470662376750411533223113705816 )x^{38} + (139195352481077920809216141296a^{2} + 19663238066438514487723527052a + 206823235032285718071143465412 )x^{37} + (-185724613713235812410557231368a^{2} + 375540854244287832806585715436a - 344843039579909120944312113004 )x^{36} + (422431065877169942430781569784a^{2} + 96541893582375943733893426528a - 164085478600862405275984375096 )x^{35} + (-195798023270069338237874440128a^{2} - 516575054198036078739893108068a - 462946095132866017334595927036 )x^{34} + (-49588819594401015109429163504a^{2} - 107773974733668948600914492580a + 538129185621297014049939234088 )x^{33} + (251428911084245712602954746540a^{2} + 93021913526956910816690792544a + 58168506545807090281734434456 )x^{32} + (455595566996234433135785949504a^{2} - 91072470604089623065992729568a + 531766800813046278290052970288 )x^{31} + (119863632633406110822947607168a^{2} + 132587802049319963191250202304a - 164114914329153940319203463244 )x^{30} + (-186635803712407786368242367696a^{2} + 206029011067468853184492229440a + 544090799189977072307421890320 )x^{29} + (549475172400474443614723861608a^{2} + 157032668253171932421042844320a + 226535386500921847373956969624 )x^{28} + (-630880177101438037067329317504a^{2} + 237842717619586968047453144360a + 185901578714314894916376987288 )x^{27} + (215780601134024196693716071388a^{2} - 265931863416738273561373045392a + 408142262291120057290998460964 )x^{26} + (70995339643719112518002070584a^{2} - 392345416444015333252429953056a - 40353784768853482431838380008 )x^{25} + (-197860629748205347173506464660a^{2} + 502214394959393246655093146596a - 349475277121308523769523086392 )x^{24} + (-411546696156672201235704757264a^{2} + 283006159062375760669046158816a - 519002576440062502688338380872 )x^{23} + (-611814010226347379161419474176a^{2} - 303088289868711920664169990472a - 191672197928541440327783002920 )x^{22} + (92715531080550045582775928808a^{2} - 582706028724250397122392647520a + 270519840646388846485957516304 )x^{21} + (-590964481474486567190429762448a^{2} + 262686307550100393901631462400a - 378706200345073870514348470728 )x^{20} + (489108825254028563932969711432a^{2} - 95240185198001051401208652128a + 542493072846927170128939149736 )x^{19} + (-123062352213021536286889047924a^{2} + 518509581955474988646356146152a - 517949715144425560579925426240 )x^{18} + (64169251379184441173007668216a^{2} - 326403877186394247251690280440a + 105081354162794717711731962264 )x^{17} + (265126563877841684634753515432a^{2} + 318170174727620758166902416504a - 512501576021822979321053918776 )x^{16} + (-512786763512675836894639564592a^{2} + 323006591565509846595384107744a + 210392414713857693770322155136 )x^{15} + (-387186836058805233729099767696a^{2} + 394989164040769096877836821984a - 393323165178980121100884828624 )x^{14} + (-70010567842824971322168856816a^{2} + 246202035410575735121600619144a + 259706881566163075384114853352 )x^{13} + (300463925807540185301520169172a^{2} + 473346917043548572943769895952a - 33969899053922151335388434388 )x^{12} + (-40604726046257622654904716112a^{2} - 142607754039846174253734243456a + 109106670802454109412267886992 )x^{11} + (507696762154079336496945631312a^{2} - 288819007301255506958689230984a + 610177710543833500970281195736 )x^{10} + (528277085815972543380468977904a^{2} + 193414366794433180311261443048a - 357928478042980817941204104992 )x^{9} + (-124814323081020447050626398080a^{2} - 262208909961660786788861896064a - 362293403183495191155207494784 )x^{8} + (288154344060313403574539106864a^{2} + 276570574567451458015911250624a - 249607164378225390195228416128 )x^{7} + (616774132050560674640831709312a^{2} - 258946069904788508990491292864a + 70104701720190105048438280360 )x^{6} + (402220626509235563678802752672a^{2} + 306112267098394636401532918512a + 227973195587638620060896263504 )x^{5} + (627526233072212998104333083600a^{2} + 580800751104771431911355192848a - 274281286303481215322718718064 )x^{4} + (407424775542590940276746168944a^{2} + 424845804850157498142954879888a - 466719438439461859384221114736 )x^{3} + (88922826032019995697140609752a^{2} + 602815708466249201678222339648a + 199052097250957745384033636424 )x^{2} + (581685828108184224275409363168a^{2} - 295408079055956840326590871296a - 341110318951209733070034969872 )x - 158771669081696104174803701768a^{2} + 326568644150188116472374928216a + 376572165471839009249887613916 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary